Pomoc z dwoma zadaniami z szeregu geometrycznego

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
tomasz1902
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 10 sty 2019, 18:30
Płeć:

Pomoc z dwoma zadaniami z szeregu geometrycznego

Post autor: tomasz1902 » 10 sty 2019, 18:38

Witam Panów
Chciałbym państwa prosić o pomoc w zrobieniu dwóch zadań z szeregu geometrycznego, z które bardzo długo próbuje robić.
Bardzo proszę o pomoc
Pozdrawiam
zad1.
\(x^2+x^3+x^4+...>-1-x\)
zad2.
\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Pomoc z dwoma zadaniami z szeregu geometrycznego

Post autor: eresh » 10 sty 2019, 18:42

tomasz1902 pisze:Witam Panów

zad1.
x^2+x^3+x^4+...>-1-x
Panie też tu są ;)

\(q=x\\
|x|<1\\
x\in (-1,1)\)


\(\frac{x^2}{1-x}>-1-x\\
\frac{x^2+(1+x)(1-x)}{1-x}>0\\
(x^2+1-x^2)(1-x)>0\\
1-x>0\\
x<1\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So x\in (-1,1)\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re:

Post autor: eresh » 10 sty 2019, 18:47

tomasz1902 pisze:\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)
\(q=\frac{2x+1}{x+2}\\
|\frac{2x+1}{x+2}|<1\\
\frac{2x+1}{x+2}-1<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1}{x+2}+1>0\\
\frac{2x+1-x-2}{x+2}<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1+x+2}{x+2}>0\\
(x-1)(x+2)<0\;\;\wedge\;\;(3x+3)(x+2)>0\\
x\in (-2,1)\;\;\wedge\;\;x\in (-\infty, -2)\cup (-1,\infty)\\
x\in (-1,1)\)


\(\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{2x+1}{x+2}}\geq 3\\

\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x+2-2x-1}\geq 3\\
\frac{1}{1-x}-3\geq 0\\
\frac{1-3+3x}{1-x}\geq 0\\
(3x-2)(1-x)\geq 0\\
x\in [\frac{2}{3},1]\;\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So\\
\So x\in [\frac{2}{3},1)\)

tomasz1902
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 10 sty 2019, 18:30
Płeć:

Re: Re:

Post autor: tomasz1902 » 10 sty 2019, 18:54

eresh pisze:
tomasz1902 pisze:\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)
\(q=\frac{2x+1}{x+2}\\
|\frac{2x+1}{x+2}|<1\\
\frac{2x+1}{x+2}-1<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1}{x+2}+1>0\\
\frac{2x+1-x-2}{x+2}<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1+x+2}{x+2}>0\\
(x-1)(x+2)<0\;\;\wedge\;\;(3x+3)(x+2)>0\\
x\in (-2,1)\;\;\wedge\;\;x\in (-\infty, -2)\cup (-1,\infty)\\
x\in (-1,1)\)


\(\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{2x+1}{x+2}}\geq 3\\

\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x+2-2x-1}\geq 3\\
\frac{1}{1-x}-3\geq 0\\
\frac{1-3+3x}{1-x}\geq 0\\
(3x-2)(1-x)\geq 0\\
x\in [\frac{2}{3},1]\;\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So\\
\So x\in [\frac{2}{3},1)\)
Bardzo ci dziękuję za rozwiązanie ale mam jeszcze jedną prośbę, mogłby pan mi wytłumaczyć oba zadania?

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Re:

Post autor: eresh » 10 sty 2019, 18:55

tomasz1902 pisze:
eresh pisze:
tomasz1902 pisze:\(\frac{1}{x+2} + \frac{2x+1}{(x+2)^2} + \frac{(2x+1)^2}{(x+2)^3}+... \ge 3\)
\(q=\frac{2x+1}{x+2}\\
|\frac{2x+1}{x+2}|<1\\
\frac{2x+1}{x+2}-1<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1}{x+2}+1>0\\
\frac{2x+1-x-2}{x+2}<0\;\;\wedge\;\;\frac{2x+1+x+2}{x+2}>0\\
(x-1)(x+2)<0\;\;\wedge\;\;(3x+3)(x+2)>0\\
x\in (-2,1)\;\;\wedge\;\;x\in (-\infty, -2)\cup (-1,\infty)\\
x\in (-1,1)\)


\(\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{2x+1}{x+2}}\geq 3\\

\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x+2}{x+2-2x-1}\geq 3\\
\frac{1}{1-x}-3\geq 0\\
\frac{1-3+3x}{1-x}\geq 0\\
(3x-2)(1-x)\geq 0\\
x\in [\frac{2}{3},1]\;\; \wedge \;\;x\in (-1,1)\So\\
\So x\in [\frac{2}{3},1)\)
Bardzo ci dziękuję za rozwiązanie ale mam jeszcze jedną prośbę, mogłby pan mi wytłumaczyć oba zadania?
nie jestem panem, jestem panią
co jest niejasne?

tomasz1902
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 10 sty 2019, 18:30
Płeć:

Post autor: tomasz1902 » 10 sty 2019, 18:59

tak naprawdę to wszystko :(
Przepraszam że tak piszę ale chce to zrozumieć a nie po prostu przepisać rozwiązanie to zeszytu

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Post autor: eresh » 10 sty 2019, 19:01

1. wyznaczasz iloraz ciągu
2. sprawdzasz dla jakich x ciąg ma granicę, czyli rozwiązujesz nierówność |q|<1
3. lewą stronę nierówności zapisujesz za pomocą wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
4. rozwiązujesz nierówność
5. bierzesz część wspólną rozwiązania nierówności z punktów 4 i 2

tomasz1902
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 10 sty 2019, 18:30
Płeć:

Post autor: tomasz1902 » 10 sty 2019, 19:13

dziękuje bardzo teraz już rozumiem :D