Zadanie z ciągami i trygonometrią

[Michu13]

Wykaż, że dla każdego \(\alpha \in (0; \frac{\Pi }{2} )\) szereg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 1\) i ilorazie \(q = \frac{1}{sin \alpha + cos \alpha }\) jest zbieżny. Wyznacz, dla jakiej wartości \(\alpha \in (0; \frac{\Pi }{2} )\) suma tego szeregu jest równa \(\sqrt{2} + 2\). Dotarłem do momentu, że wypisałem założenia :\(D : \frac{1}{sin \alpha + cos \alpha } \in (-1;1)\). Nie wiem, jak rozwiązać te nierówności :/ Liczę na waszą pomoc

[radagast]

Dotarłem do momentu, że wypisałem założenia :\(D : \frac{1}{sin \alpha + cos \alpha } \in <-1;1>\).

To nie jest założenie tylko teza. A udowodnić tak: \(\sin \alpha + \cos \alpha =\sin \alpha + \sin( \frac{ \pi }{2} - \alpha )=2\sin \frac{ \pi }{4}\cos( \alpha -\frac{ \pi }{4})= \sqrt{2}\cos( \alpha -\frac{ \pi }{4})\)
zatem \(q= \frac{1}{\sqrt{2}\cos( \alpha -\frac{ \pi }{4})}\)
a skoro \(\alpha \in \left(0, \frac{ \pi }{2} \right)\),to \(\alpha-\frac{ \pi }{4} \in \left(-\frac{ \pi }{4},\frac{ \pi }{4} \right)\) czyli \(\cos( \alpha -\frac{ \pi }{4}) \in \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} ,1\right>\) czyli \(\sqrt{2} \cos( \alpha -\frac{ \pi }{4}) \in \left( 1 , \sqrt{2} \right>\)
czyli \(\frac{1}{q} \in \left( 1 , \sqrt{2} \right>\)
czyli \(1<\frac{1}{q} \le \sqrt{2}\)
czyli \(\frac{1}{ \sqrt{2} } \le q<1\)
CBDO

[Galen]

\(|sin \alpha +cos \alpha |>1\)
\(\alpha\in(0; \frac{\pi}{2})\)
Dziedzina ,jak widać była podana w treści zadania.
\(S= \frac{1}{1- \frac{1}{sin\alpha+cos\alpha} } = \sqrt{2}+2\\
\frac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha+cos\alpha-1}= \sqrt{2}+2\)
\(\frac{ \sqrt{2}sin( \frac{\pi}{4}+\alpha) }{ \sqrt{2}sin( \frac{\pi}{4}+\alpha )-1 }= \sqrt{2}+2\)
Podstaw \(t=sin(45^o+\alpha)\) i rozwiąż równanie...
Potem wrócisz do sinusa...

[Michu13]

Wielkie dzięki!

a skoro α∈(0,π2),to α−π4∈(−π4,π4) czyli cos(α−π4)∈(2√2,1⟩ czyli 2–√cos(α−π4)∈(1,2–√⟩

czemu te przedziały są jednostronnie domknięte?

[radagast]

mam nadzieję , że wystarczy obrazek:

ScreenHunter_538.jpg (21.14 KiB) Przejrzano 1918 razy

[Michu13]

ok dzięki