Nierówność w postaci ciągu

[karina4]

Rozwiąż nierówność :
\(\log_8(x) +\log_8^2(x) + \log_8^3x+....< \frac{1}{2}\)

Czy może ktoś mi sprawdzić czy dobrze to rozwiązałam:)
\(a_1= \log_8x\)
\(|q| <1\)
\(-1<q<1\)
\(-1<\log_8x <1\)
\(\log _8 \frac{1}{8} <\log_8x < \log _8 8\)
\(\frac{1}{8} <x<8\)
\(x \in (0,125;8)\)
Dalej obliczyłam sumę
\(S= \frac{log_8x}{1-log_8x}\)
\(t=log_8x\)
\(\frac{t}{1-t}< \frac{1}{2}\)
\(\frac{t}{1-t}-\frac{1}{2}<0\)
\(\frac{1,5t-0,5}{1-t}<0\)
I teraz nie wiem co powinno wyjść
\(t= \frac{1}{3}\) oraz z mianownika t=1
ale jak to zapisać żeby nierówność była prawdziwa
i brakuje mi łącznego rozwiązania
Dziękuję za pomoc i poświęcony czas:)

[Galen]

\(\frac{1,5t-0,5}{1-t}<0\\(1,5t-0,5)(1-t)<0\\t\in (\frac{1}{8};\frac{1}{3})\cup (1;8)\)
Po przejściu do x jest...
\(log_88^{\frac{1}{8}}<log_8x<<log_8 8^{\frac{1}{3}}\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;\;log_88^1<log_8x<log_88^8\)
\(x\in ( \sqrt[8]{8}; \sqrt[3]{8})\cup (8;8^8)\)
Ale w zestawieniu z dziedziną będzie tylko pierwszy przedział.

[karina4]

Galen kolejny raz wielkie dzięki:)