Suma ciągu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
karina4
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 gru 2018, 11:39
Podziękowania: 20 razy
Płeć:

Suma ciągu

Post autor: karina4 » 15 gru 2018, 15:49

Dla jakich x suma
\(S(x)=1+ \log 2x+ \log ^2(2x)+.....\) spełnia nierówność S(x)>2.
Dziękuję za pomoc:)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Post autor: Galen » 15 gru 2018, 16:21

\(a_1=1\\q=log2x\;\;\;\;i\;\;\;\;x>0\\|q|<1\;\;\;czyli\;\;\;-1<log2x<1\\log\frac{1}{10}<log2x<log10\\0,1<2x<10\\0,05<x<5\)
Dla \(x\in ( \frac{5}{100};5)\; istnieje\;\; skończona\; suma \;\;S\)
\(S=\frac{1}{1-log2x}\)
\(\frac{1}{1-log2x}>2\)
log2x=t
\(\frac{1}{1-t}>2\\ \frac{1}{1-t}- \frac{2-2t}{1-t}>0\\ \frac{-1+2t}{1-t}>0\\(2t-1)(1-t)>0\\ \frac{1}{2}<t<1\\ \begin{cases} log2x> \frac{1}{2}\\log2x<1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x> \sqrt{10}\\2x<10 \end{cases}\\ \begin{cases} x> \frac{ \sqrt{10} }{2}\\x<5 \end{cases} \\x\in ( \frac{ \sqrt{10} }{2};5)\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16731
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7064 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 15 gru 2018, 17:29

Ja w kwestii formalnej:
dla x\(\ge\)5 ta suma istnieje , tylko jest nieskończenie duża. Zatem nie ma powodu żeby ograniczać x z góry liczbą 5.
Według mnie, właściwa odpowiedź to \(x\in ( \frac{ \sqrt{10} }{2}; \infty )\)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Post autor: Galen » 15 gru 2018, 17:40

Niech x=10
Wtedy jest \(\frac{1}{1-log20}= \frac{1}{1-1,3}\approx -3,3\;\;\;ma\;być\;mniej\;od\;2\)
Dla x=5 w mianowniku jest zero...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

karina4
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 57
Rejestracja: 07 gru 2018, 11:39
Podziękowania: 20 razy
Płeć:

Post autor: karina4 » 15 gru 2018, 18:00

Bardzo wam dziękuję za odpowiedź ...szczególnie Tobie Galen:)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16731
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7064 razy
Płeć:

Re:

Post autor: radagast » 15 gru 2018, 18:08

Galen pisze: Dla x=5 w mianowniku jest zero...
No nie bardzo...
karina4 pisze:Dla jakich x suma
\(S(x)=1+ \log 2x+ \log ^2(2x)+.....\) spełnia nierówność S(x)>2.
Dziękuję za pomoc:)
dla x=5 mamy tak:\(S(x)=1+ \log 10+ \log ^2(10)+.....=1+1+1+...= \infty\) (nie ma zera w mianowniku) :) ,
a dla x>5 też (Galen wzór, który stosujesz jest prawdziwy tylko dla |q|<1, więc ta ujemna wartość sumy jest całkiem nieprawdziwa)