Suma ciągu

[karina4]

Dla jakich x suma
\(S(x)=1+ \log 2x+ \log ^2(2x)+.....\) spełnia nierówność S(x)>2.
Dziękuję za pomoc:)

[Galen]

\(a_1=1\\q=log2x\;\;\;\;i\;\;\;\;x>0\\|q|<1\;\;\;czyli\;\;\;-1<log2x<1\\log\frac{1}{10}<log2x<log10\\0,1<2x<10\\0,05<x<5\)
Dla \(x\in ( \frac{5}{100};5)\; istnieje\;\; skończona\; suma \;\;S\)
\(S=\frac{1}{1-log2x}\)
\(\frac{1}{1-log2x}>2\)
log2x=t
\(\frac{1}{1-t}>2\\ \frac{1}{1-t}- \frac{2-2t}{1-t}>0\\ \frac{-1+2t}{1-t}>0\\(2t-1)(1-t)>0\\ \frac{1}{2}<t<1\\ \begin{cases} log2x> \frac{1}{2}\\log2x<1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x> \sqrt{10}\\2x<10 \end{cases}\\ \begin{cases} x> \frac{ \sqrt{10} }{2}\\x<5 \end{cases} \\x\in ( \frac{ \sqrt{10} }{2};5)\)

[radagast]

Ja w kwestii formalnej:
dla x\(\ge\)5 ta suma istnieje , tylko jest nieskończenie duża. Zatem nie ma powodu żeby ograniczać x z góry liczbą 5.
Według mnie, właściwa odpowiedź to \(x\in ( \frac{ \sqrt{10} }{2}; \infty )\)

[Galen]

Niech x=10
Wtedy jest \(\frac{1}{1-log20}= \frac{1}{1-1,3}\approx -3,3\;\;\;ma\;być\;mniej\;od\;2\)
Dla x=5 w mianowniku jest zero...

[karina4]

Bardzo wam dziękuję za odpowiedź ...szczególnie Tobie Galen:)

[radagast]

Dla x=5 w mianowniku jest zero...

No nie bardzo...

Dla jakich x suma
\(S(x)=1+ \log 2x+ \log ^2(2x)+.....\) spełnia nierówność S(x)>2.
Dziękuję za pomoc:)

dla x=5 mamy tak:\(S(x)=1+ \log 10+ \log ^2(10)+.....=1+1+1+...= \infty\) (nie ma zera w mianowniku) ,
a dla x>5 też (Galen wzór, który stosujesz jest prawdziwy tylko dla |q|<1, więc ta ujemna wartość sumy jest całkiem nieprawdziwa)