Miejsce zerowe ciagu

[karina4]

Podaj dziedzinę i miejsce zerowe funkcji
\(x->f(x)=1+ \frac{2x}{x^2-3}+ (\frac{2x}{x^2-3})^2+......\)
Obliczyłam dziedzinę:\(D= \rr \bez\){ -3,3}
Jeśli chodzi o miejsce zerowe, to wyliczyłam wyraz ogólny ciagu, (mam nadzieję, że dobrze)
\(x_n=( \frac{2x}{x^2-3})^n\)
I teraz przyrównuje to do zera i wyliczam x, ale coś mi nie wychodzi:) Proszę o pomoc, czy to co już zrobiłam jest dobrze i jak wyliczyć to miejsce zerowe, bo u mnie miejsce zerowe wychodzi zero.
Dzieki:)

[panb]

Nie, to nie o to chodzi.
Już dziedzina jest źle określona. W dziedzinie są te iksy, dla których ta suma ma sens liczbowy tzn. istnieje i jest konkretną, skończoną liczbą. Ponieważ f(x) jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego, więc istnieje dla \(x\in \rr \bez \{-3,3\}\) i jest skończoną liczbą, gdy \(|q|<1\).

Jak już znajdziesz dziedzinę D, to dla\(x\in D,\quad f(x)= \frac{a_1}{1-q}\).
To będzie jakieś konkretne wyrażenie ze zmienną iks i miejsce zerowe normalnie policzysz - tylko, pamiętaj, musi ono należeć do D

[karina4]

Masz rację ....wyrazami ciągu są tylko liczby skonczone

[panb]

Cześć , czy mógłbyś mi sprawdzić czy dobrze obliczyłam dziedzinę dla funkcji
\(f(x)=1+ \frac{2x}{x^2-3}+ (\frac{2x}{x^2-3})^2+.......\)

Obliczyłam dwie nierówności
\(\frac{2x}{x^2-3}>-1\)
z ktorego mi wyszło
\((\sqrt{-3},-1) \cup ( \sqrt{3},3 )\)

oraz drugą nierówność
\(\frac{2x}{x^2-3}<1\)
ktorego mi wyszło
\((- \infty ,-3) \cup ( \sqrt{3},-1 ) \cup (-1, \sqrt{3} ) \cup ( \sqrt{3}, \infty )\)
czyli część wspólna
D= \((\sqrt{-3},-1) \cup ( \sqrt{3},3 )\)
Nie wiem czy to jest dobrze wiec dzięki za odpowiedź

Niedobrze. (Tutaj to robię, bo mogę obrazek wkleić.)

Rozwiążę nierówność \(\frac{2x}{x^2-3}>-1 \iff \frac{2x}{x^2-3} +1>0 \iff \frac{2x+x^2-3}{x^2-3}>0 \\\iff (x^2+2x-3)(x^2-3)>0 \wedge x \neq -\sqrt3 \wedge x \neq -\sqrt3\\
\iff (x+3)(x-1)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)>0 \wedge x \neq -\sqrt3 \wedge x \neq -\sqrt3\)

rys.png (13.65 KiB) Przejrzano 1343 razy

Widać, że \((x+3)(x-1)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)>0\) dla \(x\in (- \infty ,-3) \cup (-\sqrt3,1) \cup (3,+ \infty )\)

Rozwiąż podobnie drugą nierówność i podaj co ci wyszło.