Ciąg geometryczny równanie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
knzxo
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 17 lis 2018, 11:59
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Ciąg geometryczny równanie

Post autor: knzxo » 02 gru 2018, 22:14

Rozwiąż równanie
x^2 + x +1/x ... =2

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 02 gru 2018, 22:40

\(x^2, x, 1/x, ...\) to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. \(q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{x}{x^2}= \frac{1}{x}\)
Jeśli \(|x|<1 \wedge x \neq 0\), to jest szansa, że \(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots =2\), bo wtedy

\(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots= \frac{x^2}{1-x}\\
\frac{x^2}{1-x}=2 \iff x^2=2(1-x) \iff x^2+2x-2=0,\,\,\, \Delta=12 \So \sqrt{\Delta}=2\sqrt3\\
x_1= \frac{-2-2\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3,\,\,\, x_2=-1+\sqrt3\\

|x_1|\not<1,\,\,\, |x_2|<1\)
, więc
  • Odp.: \(x^2+x+1/x+\ldots=2\) dla \(x=\sqrt3-1\)

knzxo
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 17 lis 2018, 11:59
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re:

Post autor: knzxo » 03 gru 2018, 05:34

panb pisze:\(x^2, x, 1/x, ...\) to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. \(q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{x}{x^2}= \frac{1}{x}\)
Jeśli \(|x|<1 \wedge x \neq 0\), to jest szansa, że \(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots =2\), bo wtedy

\(x^2+x+ \frac{1}{x}+\ldots= \frac{x^2}{1-x}\\
\frac{x^2}{1-x}=2 \iff x^2=2(1-x) \iff x^2+2x-2=0,\,\,\, \Delta=12 \So \sqrt{\Delta}=2\sqrt3\\
x_1= \frac{-2-2\sqrt3}{2}=-1-\sqrt3,\,\,\, x_2=-1+\sqrt3\\

|x_1|\not<1,\,\,\, |x_2|<1\)
, więc
  • Odp.: \(x^2+x+1/x+\ldots=2\) dla \(x=\sqrt3-1\)

Skąd wzięło sie x^2/1-x ?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 03 gru 2018, 14:59

\(S=\frac{a_1}{1-q}\)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Re:

Post autor: Galen » 03 gru 2018, 15:29

panb pisze:\(S=\frac{a_1}{1-q}\)
\(a_1=x^2\\q= \frac{1}{x}\\S= \frac{x^2}{1- \frac{1}{x} }=2\;\;\;\;\;i\;\;\;\;| \frac{1}{x}|<1 \\ \frac{x^2}{ \frac{x-1}{x} }=2\\ \frac{x^3}{x-1}=2\\x^3=2x-2\\x^3-2x+2=0\\x=???\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Re:

Post autor: panb » 03 gru 2018, 18:53

Pojawiają się schody, to równanie nie ma całkowitych pierwiastków, ale też podany w zadaniu szereg:
\(x^2+x+1/x+\ldots\)
nie jest tak naprawdę szeregiem geometrycznym chyba, że autor pominął jeden wyraz. Powinno być \[x^2+x+1+1/x+\ldots\] Więc jak to w końcu jest?