Sprawdź monotoniczność ciągu
a) an= n^3 - n
b) bn=n^2 + 1
n + 2
Monotoniczność ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(a_n=n^3-n\\a_{n+1}=(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1\\a_{n+1}-a_n=n^3+3n^2+2n-n^3+n=3n^2+3n=3n(n+1)>0\;\;\;dla\;\;n\in N^+\)
Ciąg jest rosnący.
\(b_n=\frac{n^2+1}{n+2}\\b_{n+1}= \frac{(n+1)^2+1}{(n+1)+2}= \frac{n^2+2n+2}{n+3}\\b_{n+1}-b_n= \frac{n^2+2n+2}{n+3}- \frac{n^2+1}{n+2}= \frac{(n^2+2n+2)(n+2)-(n^2+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\)
\(= \frac{n^3+2n^2+2n+2n^2+4n+4-n^3-3n^2-n-3}{(n+3)(n+2)}= \frac{n^2+5n+1}{(n+3)(n+2)}>0\;\;\;dla\;\;n\in N^+\)
Ciąg jest rosnący.
Ciąg jest rosnący.
\(b_n=\frac{n^2+1}{n+2}\\b_{n+1}= \frac{(n+1)^2+1}{(n+1)+2}= \frac{n^2+2n+2}{n+3}\\b_{n+1}-b_n= \frac{n^2+2n+2}{n+3}- \frac{n^2+1}{n+2}= \frac{(n^2+2n+2)(n+2)-(n^2+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\)
\(= \frac{n^3+2n^2+2n+2n^2+4n+4-n^3-3n^2-n-3}{(n+3)(n+2)}= \frac{n^2+5n+1}{(n+3)(n+2)}>0\;\;\;dla\;\;n\in N^+\)
Ciąg jest rosnący.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.