Oblicz granice z twierdzenie o trzech ciągach

[andrzejok]

Oblicz granice z twierdzenie o trzech ciągach

\(\sqrt[n]{ (\frac{857}{858})n+( \frac{858}{859})n } \\
\\
\sqrt[n]{{2}^{n} + { \pi}^{n}+{3}^{n} } \\
\\
\frac{1-n*cos(4n^{n}+n!+9n^{3})}{n^{2}+1} \\
\\
\frac{1}{\sqrt[n]{3^{n+2}+5^{n}+1} } \\
\\
\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2} }+ ...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n} }\\
\\
\frac{5n^{2}+7n-11}{4n^{2}+71sin(n^{3})}\)

[panb]

\(\frac{858}{859}=\sqrt[n]{ \left(\frac{858}{859} \right)^n }\le\sqrt[n]{ \left(\frac{857}{858}\right)^n+\left(\frac{858}{859}\right)^n }\le \sqrt[n]{2\cdot \left(\frac{858}{859}\right)^n}=\frac{858}{859}\sqrt[n]2\)

Ponieważ \(\Lim_{n\to \infty }\frac{858}{859}= \Lim_{n\to \infty } \frac{858}{859}\sqrt[n]2=\frac{858}{859}\), więc ...

Podobnie robi się ten przykład: \(\sqrt[n]{{2}^{n} + { \pi}^{n}+{3}^{n} }\)

[panb]

Ten, inaczej. Korzysta się z faktu, że

• \(-1\le \cos x \le 1\)

\(\frac{1-n}{n^{2}+1}=\frac{1-n\cdot 1}{n^{2}+1}\le \frac{1-n*cos(4n^{n}+n!+9n^{3})}{n^{2}+1}\le \frac{1-n\cdot(-1))}{n^{2}+1}=\frac{1+n}{n^{2}+1}\)

Ponieważ \(\Lim_{n\to \infty }\frac{1-n}{n^{2}+1} =\Lim_{n\to \infty } \frac{1+n}{n^{2}+1}=0\), więc ...

W ten sam sposób załatwi się ostatni przykład (bo \(-1\le \sin x \le 1 )\)

[panb]

Nieco inaczej w tym przypadku (najmniejszy ułamek tam, gdzie największy mianownik)
\(\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}+ ...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n} }\le \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+ ...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n} }\le \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1} }+ ...+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1} }=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\)

Dalej już się chyba domyślasz co będzie.