Granica ciągu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kowal1998
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 122
Rejestracja: 18 lis 2017, 21:17
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Granica ciągu

Post autor: Kowal1998 »

zad1.
Oblicz granicę

\(\Lim_{x\to \infty }\)\(\frac{1+3+3^2+...+3^{n-1}}{3^n}\)

Zad 2.

Dany jest ciąg \(a_n\)=\(\sin \frac{n \pi }{2}\), gdzie n\(\in \nn\). Z podanych wyrazów największy jest

a) \(a_{2015}\)
b) \(a_{2016}\)
c) \(a_{2017}\)
d) \(a_{2018}\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

\(\Lim_{n\to \infty }\frac{1+3+3^2+...+3^{n-1}}{3^n}=\Lim_{n\to \infty }\frac{ \frac{1-3^{n}}{1-3} }{3^n}= \frac{1}{2} \Lim_{n\to \infty } \frac{3^{n}-1}{ 3^n} = \frac{1}{2}\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Granica ciągu

Post autor: radagast »

Kowal1998 pisze:
Zad 2.

Dany jest ciąg \(a_n\)=\(\sin \frac{n \pi }{2}\), gdzie n\(\in \nn\). Z podanych wyrazów największy jest

a) \(a_{2015}\)
b) \(a_{2016}\)
c) \(a_{2017}\)
d) \(a_{2018}\)
\(\frac{2016 \pi }{2}=1008\pi\) - to parzysta wielokrotność \(\pi\)
\(\frac{2018 \pi }{2}=1009\pi\) - to nieparzysta wielokrotność \(\pi\)
\(\sin 1008\pi=0=\sin 1009\pi\)
Tymczasem między parzystą a nieparzystą wielokrotnością \(\pi\), sinus przyjmuje wartości dodatnie , a
między nieparzystą a parzystą wielokrotnością \(\pi\), sinus przyjmuje wartości ujemne .
Wniosek: największy jest \(a_{2017}\) , bo jest to jedyna liczba dodatnia wśród podanych (odp c).
ODPOWIEDZ