Strona 1 z 1
Wielomian i ciąg arytmetyczny
: 16 cze 2018, 10:00
autor: Januszgolenia
Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a. b, c, d). Wykaż, że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Re: Wielomian i ciąg arytmetyczny
: 16 cze 2018, 11:27
autor: radagast
Januszgolenia pisze:Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a. b, c, d). Wykaż, że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
załóżmy, że 1 i -1 są pierwiastkami tego wielomianu.
Wówczas:
\(\begin{cases}w(1)=0\\w(-1)=0 \end{cases}\)
czyli:
\(\begin{cases}a+b+c+d=0\\-a+b-c+d=0 \end{cases}\)
czyli (po dodaniu i odjęciu stronami równań ukladu)
\(\begin{cases}b+d=0\\a+c=0 \end{cases}\)
a skoro
\(\left(a,b,c,d \right)\) jest arytmetyczny to
\(\begin{cases}c= \frac{b+d}{2}\\ b= \frac{a+c}{2} \end{cases}\)
czyli
\(c=b=0\)
czyli wielomian
\(w\) musiałby być wielomianem zerowym, nie byłby więc wielomianem trzeciego stopnia - sprzeczność.
: 30 lip 2018, 14:49
autor: damianolejj
super to pokazałeś