Wielomian i ciąg arytmetyczny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1191
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1256 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Wielomian i ciąg arytmetyczny

Post autor: Januszgolenia » 16 cze 2018, 10:00

Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a. b, c, d). Wykaż, że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16731
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7064 razy
Płeć:

Re: Wielomian i ciąg arytmetyczny

Post autor: radagast » 16 cze 2018, 11:27

Januszgolenia pisze:Współczynniki wielomianu trzeciego stopnia \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) tworzą czterowyrazowy ciąg arytmetyczny (a. b, c, d). Wykaż, że jeśli liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
załóżmy, że 1 i -1 są pierwiastkami tego wielomianu.
Wówczas: \(\begin{cases}w(1)=0\\w(-1)=0 \end{cases}\)
czyli: \(\begin{cases}a+b+c+d=0\\-a+b-c+d=0 \end{cases}\)
czyli (po dodaniu i odjęciu stronami równań ukladu) \(\begin{cases}b+d=0\\a+c=0 \end{cases}\)
a skoro\(\left(a,b,c,d \right)\) jest arytmetyczny to
\(\begin{cases}c= \frac{b+d}{2}\\ b= \frac{a+c}{2} \end{cases}\)
czyli \(c=b=0\)
czyli wielomian \(w\) musiałby być wielomianem zerowym, nie byłby więc wielomianem trzeciego stopnia - sprzeczność.

damianolejj
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 02 lip 2018, 20:18
Płeć:

Post autor: damianolejj » 30 lip 2018, 14:49

super to pokazałeś :)