Ciąg arytmetyczny i pierwiastki wielomianu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1189
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1254 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Ciąg arytmetyczny i pierwiastki wielomianu

Post autor: Januszgolenia » 14 cze 2018, 12:23

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a, b, c, d), gdzie a, b, c, d sa liczbami całkowitymi. Wiedząc, że wszystkie wyrazy tego ciągu są pierwiastkami wielomianu \(W(x)=x^4+px^2+9\), wyznacz ten ciąg i oblicz współczynnik p wielomianu.
Ostatnio zmieniony 14 cze 2018, 13:43 przez Januszgolenia, łącznie zmieniany 1 raz.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1324
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 564 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 14 cze 2018, 13:08

1)
Dla ujemnego p pierwiastkami są:
\(- \sqrt{-p},0,0, \sqrt{p}\)
a one nigdy nie utworzą rosnącego ciągu arytmetycznego
1)
Dla p=0 pierwiastkami są:
\(0,0,0, 0\)
a one nie tworzą rosnącego ciągu arytmetycznego
3)
Dla dodatniego p pierwiastkami są:
\(0,0\) w R
lub
\(- i\sqrt{p},0,0, i\sqrt{p}\) w C
a one nigdy nie utworzą rosnącego ciągu arytmetycznego

radagast
Guru
Guru
Posty: 16687
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7044 razy
Płeć:

Re: Ciąg arytmetyczny i pierwiastki wielomianu

Post autor: radagast » 14 cze 2018, 13:19

Januszgolenia pisze:Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a, b, c, d), gdzie a, b, c, d sa liczbami całkowitymi. Wiedząc, że wszystkie wyrazy tego ciągu są pierwiastkami wielomianu \(W(x)=x^4+px^2+0\), wyznacz ten ciąg i oblicz współczynnik p wielomianu.
\(W(x)=x^4+px^2+0=x^2(x^2+p)\)
\(1^ \circ\) \(p \ge 0\) .
Jedynym całkowitym pierwiastkiem tego wielomianu jest 0, zatem \(a=b=c=d=0\ \ p \in R\)
\(2^ \circ\) \(p < 0\).
\(W(x)=x^4+px^2+0=x^2(x- \sqrt{-p} )(x+ \sqrt{-p} )\)
Pierwiastkami tego wielomianu są \(- \sqrt{-p},0, \sqrt{-p}\) (tylko trzy , w tym jeden dwukrotny)
To znaczy ciąg (a,b,c,d) musi być ciągiem stałym.
możliwe odpowiedzi:
\((1,1,1,1) ,p=-1\)
\((2,2,2,2) ,p=-4\)
\((3,3,3,3) ,p=-9\)
....
\((n,n,n,n), p=-n^2\)

Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1189
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1254 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Ciąg arytmetyczny i pierwiastki wielomianu

Post autor: Januszgolenia » 14 cze 2018, 13:22

Odpowiedź w zbiorze to (-3,-1,1,3); p=-10.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16687
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7044 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 14 cze 2018, 13:26

No to źle nam przepisałeś zadanie. Powinno być \(W(x)=x^4+px^2+9\).

Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1189
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1254 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Ciąg arytmetyczny i pierwiastki wielomianu

Post autor: Januszgolenia » 14 cze 2018, 13:44

Przepraszam poprawiłem.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16687
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7044 razy
Płeć:

Re: Ciąg arytmetyczny i pierwiastki wielomianu

Post autor: radagast » 14 cze 2018, 14:11

Januszgolenia pisze:Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny (a, b, c, d), gdzie a, b, c, d sa liczbami całkowitymi. Wiedząc, że wszystkie wyrazy tego ciągu są pierwiastkami wielomianu \(W(x)=x^4+px^2+9\), wyznacz ten ciąg i oblicz współczynnik p wielomianu.
\(W(x)=x^4+px^2+9\) jest funkcja parzystą . Jeśli więc s jest pierwiastkiem, to i -s jest pierwiastkiem czyli
\(W(x)=x^4+px^2+9=(x-s)(x+s)(x-t)(x+t)=x^4-(s^2+t^2)x^2+s^2t^2\)
porównując współczynniki otrzymujemy:
\(s^2t^2=9\) czyli \(|st|= 3\) czyli \(s^2+t^2=10\) (przypominam, że \(s,t \in C\))
czyli \(p=-10\)
No to
\(W(x)=x^4-10x^2+9=(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)\)
i tak się szczęśliwie złożyło, że to jedyne możliwe rozwiązanie : (-3-1,1,3) jest rzeczywiście ciągiem arytmetycznym :) ( rozwiązując zadanie nie korzystałam z tej informacji).