Uzasadnić wzór na ciąg.

[Januszgolenia]

\(P_1=a^2\)
\(P_2=a^2+4( \frac{a}{3})^2\)
\(P_3=a^2+4( \frac{a}{3})^2+4 \cdot 3( \frac{a}{9})^2\)
\(P_4=a^2+4( \frac{a}{3})^2+4 \cdot 3( \frac{a}{9})^2+4 \cdot 3 \cdot 3( \frac{a}{27})^2\)
.
.
\(P_n= .................\)
Wykaż, że \(P_n=a^2( \frac{5}{3}- \frac{2}{3^n})\)

[radagast]

\(P_n=a^2+4( \frac{a}{3})^2+4 \cdot 3( \frac{a}{9})^2+4 \cdot 3 \cdot 3( \frac{a}{27})^2+...+4 \cdot 3^{n-1}( \frac{a}{3^n})^2\)
czyli
\(\displaystyle P_n=a^2+ \sum_{i=1}^{n} 4 \cdot 3^{n-1} \left( \frac{a}{3^n} \right)^2\)
No to policzmy:
\(\displaystyle P_n=a^2+ \sum_{i=1}^{n} 4 \cdot 3^{n-1} \cdot \frac{a^2}{3^{2n}}= a^2+ \sum_{i=1}^{n} 4 \cdot \frac{a^2}{3^{2n-n+1}}=a^2+4a^2 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3^{n+1}}=a^2+ \frac{4}{3} a^2 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3^{n}}=\\
\displaystyle a^2 \left( 1+\frac{4}{3} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{3^{n}}\right) =a^2 \left( 1+\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1- \left( \frac{1}{3} \right)^n }{1- \frac{1}{3} }\right) =a^2 \left( 1+2 \cdot \frac{1- \left( \frac{1}{3} \right)^n }{ 3 }\right)= \frac{a^2}{3} \left( 3+2 \cdot (1- \left( \frac{1}{3} \right)^n) \right)=\\
\displaystyle \frac{a^2}{3} \left( 5 - 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)=a^2 \left( \frac{5}{3}- \frac{2}{3^{n+1}}\right)\)
prawie tak jak miało być... Może gdzieś się pomyliłam. sprawdzę potem.

[Januszgolenia]

Z wzoru \(P_n=a^2+ \sum_{i=1}^{n} 4 \cdot 3^{n-1}( \frac{a}{3^n})^2\) podstawiając n=1 nie otrzymamy \(P_1=a^2\). Coś to nie tak.

[radagast]

Masz rację.
Powinno być:
\(\begin{cases} P_1=a^2\\P_n=a^2+4 \cdot 3^0 \cdot \left( \frac{a}{3^1} \right)^2+4 \cdot 3^1 \cdot \left( \frac{a}{3^2} \right)^2+...+4 \cdot 3^{n-2} \cdot \left( \frac{a}{3^{n-1}} \right)^2,\ \ dla \ n \ge 2\end{cases}\)
czyli
\(\displaystyle \begin{cases} P_1=a^2\\ \displaystyle P_n= a^2+\sum_{i=2}^{n} 4 \cdot 3^{i-2} \cdot \left( \frac{a}{3^{i-1}} \right)^2,\ \ dla \ n \ge 2\end{cases}\)

I teraz:
dla \(n=1\), \(P_1=a^2=a^2 \left( \frac{5}{3}- \frac{2}{3^1} \right)\) (czyli OK)
dla \(\displaystyle n \ge 2\), \(\displaystyle P_n=a^2+\sum_{i=2}^{n} 4 \cdot 3^{i-2} \cdot \left( \frac{a}{3^{i-1}} \right)^2=a^2+\sum_{i=2}^{n} 4 \cdot 3^{i-2} \cdot \frac{a^2}{3^{2i-2}}=a^2+\sum_{i=2}^{n} 4 \cdot \frac{a^2}{3^{i}}=a^2+ 4a^2\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{3^{i}}=\\
\displaystyle a^2+ 4a^2 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1- \frac{1}{3^n} }{1- \frac{1}{3} }=a^2+ 4a^2 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1- \frac{1}{3^n} }{ \frac{2}{3} }=a^2+ 4a^2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1- \frac{1}{3^n} }{ 2 }=a^2+ \frac{2a^2}{3} \cdot \left( 1- \frac{1}{3^n}\right) =\\
\displaystyle a^2 \left( 1 + \frac{2}{3} - \frac{2}{3^{n+1}}\right)\)
... i znów to samo ale błąd jest u mnie . Twój wzor jest dobry.