Szereg Talyora/Maclaurina, błąd przybliżenia i f. tryg.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kamil_123
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 20 kwie 2018, 19:50
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Szereg Talyora/Maclaurina, błąd przybliżenia i f. tryg.

Post autor: kamil_123 »

Cześć, mam problem z poniższymi zadaniami:
1) Obliczyć z dokładnością do 0.1, 0.01, 0.001: (W praktyce wystarczy mi obliczenie do R2 lub R3 i dalej powinienem być w stanie to sobie rozwinąć)
a) sin 3/2
b) cos 3/2
c) arctg 1/4, arctg 1/2
Spoiler
O ile te zadania nie sprawiały mi problemu dla \(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, sin \frac{1}{3}\) i \(cos \frac{1}{3}\), tak dla powyższych wartości zaczyna się problem. Wiem, że dla małych wartości funkcji trygonometrycznych \(f(x) = sin (x) \approx x\), jednak dla podpunktów a, b wydaje mi się, że ta zasada przestaje działać i wartości bardzo się oddalają od siebie. Odnośnie arctg nie mam pojęcia jak się za to zabrać.
2) Stosując wzór Maclaurina z resztą \(R_{3}\), obliczyć \(\sqrt{1.02}\), \(\sqrt[3]{1.02}\). Znaleźć dokładność otrzymanego przybliżenia. To samo obliczyć, wykorzystując wzór Taylora o środku w punkcie \(x_{0} = 3\).
Spoiler
Próbowałem funkcji \(f(x) = \sqrt{0.02 + x}\), x = 1, \(x_{0}\), ale wychodzi bzdurny wynik, o wiele mniejszy niż jedność. Nie wiem jak poprawnie zbudować wzór Taylora dla podanego \(x_{0}\).
3)Oszacować błąd przybliżenia:
\(sin x \approx x - \frac{x^3}{6}\), \(|x| \le 1\)
4) Udowodnić nierówność
\(e^x \ge x + 1\), \(x \in R.\)
Spoiler
Podchodząc naiwnie do tego problemu widzę, że dla \(x \ge 0\) warunek będzie spełniony, ponieważ dla x = 0 L = P (warunek spełniony), dla x > 0 => L >P, ponieważ dla x = 1 => L > P i przyrost lewej strony jest większy niż prawej dla każdego x > 0.
Warunek jest również spełniony dla \(x \le -1\), ponieważ funkcja \(e^x\) jest zawsze większa lub równa 0. Problemem może być jedynie przedział (-1, 0). Zakładam jednak, że cel tego zadania jest wykazanie tego przez odpowiednie przekształcenia, jednak nie mam pomysłu jak się zabrać za to od strony Analizy czy szeregu Taylora.
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam. :D
Awatar użytkownika
lambdag
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 107
Rejestracja: 18 paź 2017, 19:40
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy

Post autor: lambdag »

Z.2.
A jeśli byś spróbował tak: \(f(x) = \sqrt{1+x}\)
Sprawdzałem pomijając tą resztę \(R^3\)czy wgl wychodzi i wyszło (1,00955) czyli dość podobnie jak na kalkulatorze..
kamil_123
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 20 kwie 2018, 19:50
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Post autor: kamil_123 »

2) Podstawiając do tego wzoru wychodzi zarówno \(\sqrt{1.02}\), jak i \(\sqrt[3]{1.02}\). Jednak jak zrobić to zadanie używając wzoru Taylora dla podanego \(x_{0} = 3\)?
Awatar użytkownika
lambdag
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 107
Rejestracja: 18 paź 2017, 19:40
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy

Post autor: lambdag »

Ja spróbowałem zrobić tak: \(f(x) = \sqrt{x-2}\) wtedy dość fajnie wyjdzie bo 1.. a żeby obliczyć \(\sqrt{1.02}\) to wstawiam 3.02
Zrobiłem tylko przybliżenie do 2 tzn bez reszty wyszło \(1.01\) czyli całkiem sensownie.
A co do zadania 3 to trzeba właśnie wyznaczyć resztę albo R4 albo R5 bo po lewej stronie jest wzór maclurina dla tej funkcji..
ulek44
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 08 maja 2018, 16:25

Post autor: ulek44 »

Jeśli szukacie plexi w Olsztynie to polecam wejść na http://plexinawymiar.pl/plexi-pleksi-pleksa/olsztyn i zapoznać się z tą ofertą. Uważam, że każdy będzie zadowolony z tej firmy.
kamil_123
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 20 kwie 2018, 19:50
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Post autor: kamil_123 »

Wykorzystałem podane przez Ciebie równanie do zadania drugiego i wyszło dobre rozwiązanie.
Policzyłem również oszacowanie w zadaniu 3. Problem wynika z mojej nieznajomości (a raczej nieuświadomienia sobie, że bardzo łatwo wyciągnąć z szeregu Taylora) wzoru na resztę. Gdy znalazłem i zrozumiałem wzór nie było już problemu.
W zad. 1. zastosowałem dla sin 3/2 wzór sin x/2, dla x = 3, \(x_{0} = 0\) co dało o wiele lepsze przybliżenie niż sin x = x.

Dla zadania 4. spróbowałem rozbić obie strony na szeregi Taylora. W rezultacie otrzymałem:
L: \(e^x \approx 1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + ...\)
P: \(x + 1 = 1 + \frac{1}{1!}x\)
Porównując stronami:
\(\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + ... \ge 0\)
\(\sum_{n=2}^{ \infty} \frac{1}{n!}x^n \ge 0\) co jest prawdą dla dowolnego x z przedziału liczb rzeczywistych.

Bardzo dziękuję za udzieloną pomoc. Niezwykle mi to pomogło zrozumieć materiał i nauczyć się wykonywania tych zadań. Życzę wszystkiego dobrego i pozdrawiam. :D
ODPOWIEDZ