1) Obliczyć z dokładnością do 0.1, 0.01, 0.001: (W praktyce wystarczy mi obliczenie do R2 lub R3 i dalej powinienem być w stanie to sobie rozwinąć)
a) sin 3/2
b) cos 3/2
c) arctg 1/4, arctg 1/2
Spoiler
O ile te zadania nie sprawiały mi problemu dla \(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}, sin \frac{1}{3}\) i \(cos \frac{1}{3}\), tak dla powyższych wartości zaczyna się problem. Wiem, że dla małych wartości funkcji trygonometrycznych \(f(x) = sin (x) \approx x\), jednak dla podpunktów a, b wydaje mi się, że ta zasada przestaje działać i wartości bardzo się oddalają od siebie. Odnośnie arctg nie mam pojęcia jak się za to zabrać.
Spoiler
Próbowałem funkcji \(f(x) = \sqrt{0.02 + x}\), x = 1, \(x_{0}\), ale wychodzi bzdurny wynik, o wiele mniejszy niż jedność. Nie wiem jak poprawnie zbudować wzór Taylora dla podanego \(x_{0}\).
\(sin x \approx x - \frac{x^3}{6}\), \(|x| \le 1\)
4) Udowodnić nierówność
\(e^x \ge x + 1\), \(x \in R.\)
Spoiler
Podchodząc naiwnie do tego problemu widzę, że dla \(x \ge 0\) warunek będzie spełniony, ponieważ dla x = 0 L = P (warunek spełniony), dla x > 0 => L >P, ponieważ dla x = 1 => L > P i przyrost lewej strony jest większy niż prawej dla każdego x > 0.
Warunek jest również spełniony dla \(x \le -1\), ponieważ funkcja \(e^x\) jest zawsze większa lub równa 0. Problemem może być jedynie przedział (-1, 0). Zakładam jednak, że cel tego zadania jest wykazanie tego przez odpowiednie przekształcenia, jednak nie mam pomysłu jak się zabrać za to od strony Analizy czy szeregu Taylora.
Warunek jest również spełniony dla \(x \le -1\), ponieważ funkcja \(e^x\) jest zawsze większa lub równa 0. Problemem może być jedynie przedział (-1, 0). Zakładam jednak, że cel tego zadania jest wykazanie tego przez odpowiednie przekształcenia, jednak nie mam pomysłu jak się zabrać za to od strony Analizy czy szeregu Taylora.