Zbieżność

[enta]

Zbadaj zbieżność oraz zbieżność bezwzględna szeregu
a) \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{(-1)^n*n}{n^2+1}\)
b) \(\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{-2n}{3n+5} )^n\)
c) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-2)^n}{3^n+1}\)

[radagast]

Zbadaj zbieżność oraz zbieżność bezwzględna szeregu
a) \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{(-1)^n*n}{n^2+1}\)

Nie jest zbieżny bezwzględnie, bo \(\frac{n}{n^2+1}> \frac{1}{n+1}\), a szereg \(\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{n+1}\) jest rozbieżny (zatem , na podstawie kryterium porównawczego...)
Jest zbieżny na podstawie kryterium Leibniza (\(\frac{n}{n^2+1} \ge 0, \Lim_{n\to \infty } \frac{n}{n^2+1}=0, \frac{n}{n^2+1}\) jest nierosnący.)

[radagast]

Zbadaj zbieżność oraz zbieżność bezwzględna szeregu
b) \(\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{-2n}{3n+5} )^n\)

zbieżny bezwzględnie:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } ( \frac{2n}{3n+5} )^n\) jest zbieżny z kryterium Cauchy 'ego, bo
\(\sqrt[n]{( \frac{2n}{3n+5} )^n}= \frac{2n}{3n+5} \to \frac{2}{3} <1\)

[radagast]

Zbadaj zbieżność oraz zbieżność bezwzględna szeregu
c) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-2)^n}{3^n+1}\)

zbieżny bezwzględnie:
\(\frac{2^n}{3^n+1}< \frac{2^n}{3^n}= \left( \frac{2}{3} \right) ^n\)
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{2}{3} \right) ^n\) zbieżny , bo to geometryczny o ilorazie <1.

[enta]

dzięki wielkie
Mam jeszcze dwa ostatnie przykłady proszę o pomoc
d) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n*(n^3+5)}{2n^3+2n}\)
e) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin(n* \pi) }{ (\sqrt[3]{n} )^2}\)

[radagast]

dzięki wielkie
Mam jeszcze dwa ostatnie przykłady proszę o pomoc
d) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n*(n^3+5)}{2n^3+2n}\)

Nie jest zbieżny. Nie spełnia warunku koniecznego.

[radagast]

dzięki wielkie
Mam jeszcze dwa ostatnie przykłady proszę o pomoc
e) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin(n* \pi) }{ (\sqrt[3]{n} )^2}\)

\(\sin(n* \pi) =0\)
zatem podany szereg jest sumą zer. Zbieżny.