szeregi

[enta]

Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregu pamiętaj o sprawdzeniu warunku koniecznego zbieżności:
a)\(\sum_{n=3}^{ \infty }( \frac{n-1}{n} )^n\)
b) \(\sum_{n=3}^{ \infty } \frac{n+1}{n^3-n^2}\)
c) \(\sum_{n=2}^{ \infty } \sqrt{ \frac{n-1}{n^4-n^3} }\)

[radagast]

Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregu pamiętaj o sprawdzeniu warunku koniecznego zbieżności:
a)\(\sum_{n=3}^{ \infty }( \frac{n-1}{n} )^n\)

\(\Lim_{n\to \infty } ( \frac{n-1}{n} )^n= \frac{1}{e} \neq 0\) szereg rozbieżny (nie spełania warunku koniecznego)

[radagast]

Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregu pamiętaj o sprawdzeniu warunku koniecznego zbieżności:
b) \(\sum_{n=3}^{ \infty } \frac{n+1}{n^3-n^2}\)

\(\Lim_{n\to \infty } \frac{n+1}{n^3-n^2}=0\) (warunek konieczny jest spełniony , ponadto:
\(\frac{n+1}{n^3-n^2} = \frac{n+1}{n^2(n-1)} \le ^*\frac{2(n-1)}{n^2(n-1)}= \frac{2}{n^2}\)
\(^*\) dla n \(\ge\) 3
szereg \(\sum_{n=3}^{ \infty } \frac{2}{n^2}\) jest zbieżny , zatem szereg \(\sum_{n=3}^{ \infty } \frac{n+1}{n^3-n^2}\) również jest zbieżny

[radagast]

Korzystając z kryterium porównawczego zbadaj zbieżność szeregu pamiętaj o sprawdzeniu warunku koniecznego zbieżności:
c)
\(\sum_{n=2}^{ \infty } \sqrt{ \frac{n-1}{n^4-n^3} }\)

Warunek konieczny jest spełniony.
\(\sum_{n=2}^{ \infty } \sqrt{ \frac{n-1}{n^4-n^3} }= \sum_{n=2}^{ \infty } \sqrt{ \frac{1}{n^3} }=\sum_{n=2}^{ \infty } \left( \frac{1}{n} \right)^ \frac{3}{2}\)
Szereg \(\sum_{n=2}^{ \infty } \left( \frac{1}{n} \right)^ \frac{3}{2}\) jest szeregiem harmonicznym rzędu \(\frac{3}{2}\) i jako taki jest zbieżny (\(\frac{3}{2} >1\)), zatem szereg \(\sum_{n=2}^{ \infty } \sqrt{ \frac{n-1}{n^4-n^3} }\) również jest zbieżny.

[enta]

Czy mogę prosić o pomoc jeszcze w dwóch przypadkach
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2*3^n+4^n}{5^n}\)
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3-2cos(n^5)}{ \sqrt{n} }\)

[radagast]

Czy mogę prosić o pomoc jeszcze w dwóch przypadkach
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2*3^n+4^n}{5^n}\)

zbieżny:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2*3^n+4^n}{5^n}=\sum_{n=1}^{ \infty } 2 \cdot \frac{3^n}{5^n}+\frac{4^n}{5^n}=2 \sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{3}{5} \right) ^n+\sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{4}{5} \right) ^n=7\) -suma szeregów geometrycznych

[radagast]

Czy mogę prosić o pomoc jeszcze w dwóch przypadkach
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3-2cos(n^5)}{ \sqrt{n} }\)

rozbieżny (kryterium porównawcze)
\(\frac{3-2cos(n^5)}{ \sqrt{n} } \ge \frac{1}{ \sqrt{n}}\)