Trójkąty wpisane w koło

[laikan]

W trójkąt równoboczny o boku a wpisano koło, w to koło wpisano trójkąt równoboczny, w ten trójkąt wpisano koło, a następnie w to koło wpisano trójkąt itd. w nieskończoność. Sprawdź ile razy suma pól wszystkich trójkątów jest większa od pola danego trójkąta.

[panb]

Rozwiązanie na załączonym obrazku:

rozwiazanie.png (44.39 KiB) Przejrzano 1434 razy

[wuempe]

Jeśli starannie wykonasz rysunek, to zauważysz, że długości kolejnych trójkąt tworzą nieskończony ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/2. Pola tych trójkątów także także tworzą ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Jeżeli bok pierwszego (największego) trójkąta oznaczysz jako a1 a to jego pole S1= \(a1^2 \sqrt{3} /4\).
Wtedy suma pól S = s1+s1+s3+......= \(s1/(1-1/4)\) co w efekcie da : S =\(a1^2 \sqrt{3} /3\).
Podobnie promień największego koła wyrażony za pomocą największego boku trójkąta a1 , ma wartość : \(r1 = a1 \sqrt{3}/6\). Pole tego koła \(p1=\pi r1^2\)=\(\pi a1^2/12\). Pola kół p1, p2, p3 ....tworzą również ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Sumę tych pól policzysz również jako sumę ciągu geometrycznego nieskończonego
P = p1+p1+p1+.....= s1/(1-1/4) co da \(P=\pi a1^2/9\)
Ostatecznie stosunek sum S : P = \(3 \sqrt{3} //pi\)
Jeśli nie zrobiłem jakiegoś błędu rachunkowego , to wynik powinien być poprawny. Pozdrawiam

[wuempe]

Jeśli starannie wykonasz rysunek, to zauważysz, że długości kolejnych trójkąt tworzą nieskończony ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/2. Pola tych trójkątów także także tworzą ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Jeżeli bok pierwszego (największego) trójkąta oznaczysz jako a1 a to jego pole S1= \(a1^2 \sqrt{3} /4\).
Wtedy suma pól S = s1+s1+s3+......= \(s1/(1-1/4)\) co w efekcie da : S =\(a1^2 \sqrt{3} /3\).
Podobnie promień największego koła wyrażony za pomocą największego boku trójkąta a1 , ma wartość : \(r1 = a1 \sqrt{3}/6\). Pole tego koła \(p1=\pi r1^2\)=\(\pi a1^2/12\). Pola kół p1, p2, p3 ....tworzą również ciąg geometryczny nieskończony o ilorazie 1/4. Sumę tych pól policzysz również jako sumę ciągu geometrycznego nieskończonego
P = p1+p1+p1+.....= s1/(1-1/4) co da \(P=\pi a1^2/9\)
Ostatecznie stosunek sum S : P = \(3 \sqrt{3} //pi\)
Jeśli nie zrobiłem jakiegoś błędu rachunkowego , to wynik powinien być poprawny. Pozdrawiam

Przepraszam. Tak przejąłem się udzieleniem pomocy, że niedoczytałem treści i rozwiązałem zadanie znacznie trudniejsze.