Pochodne

[9019bartmann]

1.Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

\(f(x) = x^{4} - 5x^{2} + 6\)

2.Oblicz pochodne następujących funkcji

\(y = x^{2} cosx lnx\)
\(y = \frac{sinx + cosx}{sinx - cosx}\)
\(y = \sqrt{tg\frac{x}{2}}\)

3.Oblicz granicę funkcji

\(\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1})\)

4.Oblicz granicę funkcji

\(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x + 5})^{4x}\)

5.Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji

\(y = x^{3} - 3x^{2} - 24x\) w przedziale <0,6>

6.Zbadaj wypukłość \(y = xe^{-x}\)

7.Oblicz \(y^{(75)}\) jeśli y = sinx

8.Znajdź asymptoty \(y = \frac{x^{3}}{x + 3}\)

[eresh]

1.Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

\(f(x) = x^{4} - 5x^{2} + 6\)

\(f'(x)=4x^3-10x=4x(x^2-\frac{10}{4})=4x(x-\frac{\sqrt{10}}{2})(x+\frac{\sqrt{10}}{2})\\
f'(x)>0\iff x\in (-\frac{\sqrt{10}}{2}, 0)\cup (\frac{\sqrt{10}}{2},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\infty, -\frac{\sqrt{10}}{2})\cup (0,\frac{\sqrt{10}}{2})\\
f_{max}=f(0)\\
f_{min}=f(-\frac{\sqrt{10}}{2})=f(\frac{\sqrt{10}}{2})\)

[eresh]

2.Oblicz pochodne następujących funkcji

\(y = x^{2} cosx lnx\)
\(y = \frac{sinx + cosx}{sinx - cosx}\)
\(y = \sqrt{tg\frac{x}{2}}\)

\(f'(x)=(x^2\cos x)'\ln x+(x^2\cos x)\cdot\frac{1}{x}=(2x\cos x-x^2\sin x)\ln x+x\cos x\)


\(f'(x)=\frac{(\cos x-\sin x)(\sin x-\cos x)-(\sin x+\cos x)(\cos x+\sin x)}{(\sin x-\cos x)^2}=...\)


\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\tg\frac{x}{2}}}\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}\)

[eresh]

3.Oblicz granicę funkcji

\(\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1})\)

\(\Lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}=\Lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{e^x-1+xe^x}=\Lim_{x\to 0}\frac{e^x}{e^x+e^x+xe^x}=\frac{1}{2}\)

[eresh]

4.Oblicz granicę funkcji

\(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x + 5})^{4x}\)

\(\Lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x+5})^{x+5-5}]^4=\Lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x+5})^{x+5}]^4\cdot \Lim_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x+5})^{-5}]^4=e^4\)

[eresh]

5.Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji

\(y = x^{3} - 3x^{2} - 24x\) w przedziale <0,6>

\(f(x)=x^3-3x^2-24x\\
f'(x)=3x^2-6x-24=3(x^2-2x-8)=3(x-4)(x+2)\\
f(0)=0\\
f(6)=-36\\
f(4)=-80\)
wartość największa f(0)=0
wartość najmniejsza f(4)=-80

[eresh]

6.Zbadaj wypukłość \(y = xe^{-x}\)

\(f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)\\
f''(x)=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=-e^{-x}(1-x+1)=e^{-x}(x-2)\\
f''(x)>0\iff x>2\\
f''(x)<0\iff x<2\)

[eresh]

7.Oblicz \(y^{(75)}\) jeśli y = sinx

\(f'(x)=\cos x\\
f''(x)=-\sin x\\
f'''(x)=-\cos x\\
f^{4}(x)=\sin x\\
f^{5}(x)=\cos x\\
...\\
f^{75}(x)=\cos x\)

[eresh]

8.Znajdź asymptoty \(y = \frac{x^{3}}{x + 3}\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\\
\Lim_{x\to -3^+}f(x)=-\infty\\
\Lim_{x\to -3^-}f(x)=\infty\\\)
\(x=-3\)- asymptota pionowa


\(\Lim_{x\to \infty}\frac{x^3}{x^2+3x}=\infty\)
brak asymptot ukośnych