Monotoniczność ciągów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
paszko1983
- Witam na forum
- Posty: 6
- Rejestracja: 10 sty 2018, 11:25
- Podziękowania: 7 razy
- Płeć:
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(a_{n+1}-a_n= \frac{3(n+1)+1}{n+1}- \frac{3n+1}{n}= \frac{3n+4}{n+1}- \frac{3n+1}{n}= \frac{(3n+4)n-(3n+1)(n+1)}{n(n+1)}= \frac{3n^2+4n-3n^2-n-3n-1}{n(n+1)}=\)
\(= \frac{-1}{n(n+1)}<0\\a_{n+1}-a_n<0\\a_{n+1}<a_n\)
Ciąg jest malejący.
\(a_n=1- \frac{4}{n+1}\\a_{n+1}-a_n=(1- \frac{4}{n+2})-(1- \frac{4}{n+1})= \frac{-4}{n+2}+ \frac{4}{n+1}= \frac{-4(n+1+4(n+2)}{(n+1)(n+2)}= \frac{4}{(n+1)(n+2)}>0\)
\(a_{n+1}-a_n>0\\a_{n+1}>a_n\)
Ciąg jest rosnący.
\(a_n= \frac{n+4}{n+1}\\a_{n+1}-a_n= \frac{n+5}{n+2}- \frac{n+4}{n+1}= \frac{(n+5)(n+1)-(n+4)(n+2)}{(n+2)(n+1)}= \frac{n^2+6n+5-n^2-6n-8}{(n+2)(n+1)}= \frac{-3}{(n+1)(n+2)}<0\\Malejący\)
\(a_n= \frac{1}{1-3n}\\a_{n+1}-a_n= \frac{1}{1-3(n+1)}- \frac{1}{1-3n}= \frac{1}{-3n-2}- \frac{-1}{3n-1}= \frac{-1}{3n+2}+ \frac{1}{3n-1}= \frac{-1(3n-1)+3n+2}{(3n+2)(3n-1)}= \frac{3}{(3n+2)(3n-1)}>0\\ROSNĄCY\)
\(= \frac{-1}{n(n+1)}<0\\a_{n+1}-a_n<0\\a_{n+1}<a_n\)
Ciąg jest malejący.
\(a_n=1- \frac{4}{n+1}\\a_{n+1}-a_n=(1- \frac{4}{n+2})-(1- \frac{4}{n+1})= \frac{-4}{n+2}+ \frac{4}{n+1}= \frac{-4(n+1+4(n+2)}{(n+1)(n+2)}= \frac{4}{(n+1)(n+2)}>0\)
\(a_{n+1}-a_n>0\\a_{n+1}>a_n\)
Ciąg jest rosnący.
\(a_n= \frac{n+4}{n+1}\\a_{n+1}-a_n= \frac{n+5}{n+2}- \frac{n+4}{n+1}= \frac{(n+5)(n+1)-(n+4)(n+2)}{(n+2)(n+1)}= \frac{n^2+6n+5-n^2-6n-8}{(n+2)(n+1)}= \frac{-3}{(n+1)(n+2)}<0\\Malejący\)
\(a_n= \frac{1}{1-3n}\\a_{n+1}-a_n= \frac{1}{1-3(n+1)}- \frac{1}{1-3n}= \frac{1}{-3n-2}- \frac{-1}{3n-1}= \frac{-1}{3n+2}+ \frac{1}{3n-1}= \frac{-1(3n-1)+3n+2}{(3n+2)(3n-1)}= \frac{3}{(3n+2)(3n-1)}>0\\ROSNĄCY\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.