Wyznacz granicę ciągów

[paszko1983]

[paszko1983]

oraz:

[Galen]

\(a_n= \frac{6n^2+n-2}{n^2+5n-1}= \frac{n^2(6+ \frac{1}{n}- \frac{2}{n^2} )}{n^2(1+ \frac{5}{n}- \frac{1}{n^2}) }= \frac{6+ \frac{1}{n}- \frac{2}{n^2} }{1+ \frac{5}{n}- \frac{1}{n^2} }\)
\(\Lim_{n\to \infty} a_n= \frac{6-0+0}{1+0-0}=6\)
b)
Podziel licznik i mianownik przez \(5^n\) otrzymasz...
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{3 \cdot ( \frac{4}{5} )^n-1}{2 \cdot ( \frac{2}{5} )^n+3}= \frac{0-1}{0+3}=- \frac{1}{3}\)
c)
\(\Lim_{n\to \infty }(1+ \frac{c}{n})^n=e^c\\ \Lim_{n\to \infty }(1+ \frac{3}{n})^n=e^3\)

[Galen]

oraz:

Zastosuj tw. o trzech ciągach.
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{8^n}=8\\ \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{8^n+8^n+8^n}= \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{8^n \cdot 3}=8 \sqrt[n]{3}=8 \cdot 1=8\)
\(\sqrt[n]{8^n}<a_n< \sqrt[n]{3 \cdot 8^n}\)
\(\Lim_{n\to \infty } a_n=8\)

[Galen]

\(b_n= \sqrt[n]{( \frac{8}{7})^n }\\ \Lim_{n\to \infty }b_n= \frac{8}{7}\\c_n= \sqrt[n]{( \frac{8}{7} )^n+( \frac{8}{7} )^n} = \sqrt[n]{2( \frac{8}{7})^n }= \frac{8}{7} \cdot \sqrt[n]{2}\)
\(\Lim_{n\to \infty }c_n= \frac{8}{7} \cdot 1= \frac{8}{7}\)
\(b_n<a_n<c_n\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\; \Lim_{n\to \infty }b_n= \Lim_{n\to \infty }c_n= \frac{8}{7}\\zatem\\ \Lim_{n\to \infty }a_n= \frac{8}{7}\)