Iloczyn ciągu na podstawie szeregu

[illwreakyabonez]

Buenos tarde,
Zadaję te pytanie tutaj, ponieważ na innym forum (tym wielkim) nie otrzymałem żadnej rzeczowej odpowiedzi.
"Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \(\left( a _{n} \right)\) są dodatnie, a szereg \(a _{1} + a _{2} + a _{3} ...\) jest zbieżny. Suma wszystkich wyrazów o nieparzystych numerach ciągu \(\left( a _{n} \right)\) jest cztery razy większa od sumy wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych. Oblicz iloraz ciągu \(\left( a _{n} \right)\).

Drogą dydukcji doszedłem do takiego konsensusu:

1. Zakładając, że liczba wyrazów ciągu \(n\) jest parzysta:
\(a _{1} \cdot \frac{1-q ^{n} }{1-q ^{2} } =4a _{1}q \cdot \frac{1-q ^{n} }{1-q ^{2} } \Leftrightarrow q= \frac{1}{4}\) - wychodzi tyle, ile powinno.

//nasuwa mi się myśl, że szereg geometryczny utworzony z wyrazów ciągu geometrycznego może mieć jakiś związek z liczbą jego wyrazów, ale jeśli tak jest to nie mam pojęcia jaki; skoro na zdrowy rozum w zadaniu trzeba rozpatrzyć dwa przypadki i z pierwszego wychodzi prawidłowy wynik, a drugi daje równanie nic nie wnoszące do rozwiązania zadania, a jednocześnie w zadaniu jest podana informacja o szeregu geometrycznym \(\left( \left| q\right|<1 \right)\), to musi to chyba oznaczać, że ciąg posiada parzystą liczbę wyrazów, prawda? Jeśli tak jest, to prosiłbym o potwierdzenie i (opcjonalnie) wytłumaczenie, dlaczego tak jest; a jeśli jest inaczej, to o sprostowanie.

2. Zakładając, że liczba wyrazów ciągu \(n=2k+1\) jest nieparzysta:
Suma wyrazów o numerach nieparzystych: \(S _{1}=a _{1} \cdot \frac{1-q ^{ \left( \frac{k+1}{2}\right) ^{2} } }{1-q ^{2} }=a _{1} \cdot \frac{1-q ^{k+1} }{1-q ^{2} }\)
Suma wyrazów o numerach parzystych: \(S _{2}=a _{1}q \cdot \frac{1-q ^{k} }{1-q ^{2} }\)
\(\frac{1-q ^{k+1} }{1-q ^{2} }=4q \cdot \frac{1-q ^{k} }{1-q ^{2} } \begin{cases} q \neq 0 \\ q ^{2} \in \left( 0;1\right) \end{cases} \Rightarrow \frac{1-q ^{k+1} }{1-q ^{2} }=4q \cdot \frac{1-q ^{k} }{1-q ^{2} } | \cdot \left( 1-q ^{2} \right)\) <- mnożenie stronami
Wychodzi:
\(-3q ^{2}+4q ^{k+1} -1=0\) dla \(k \in Z\) - nie znamy ani ilorazu, ani liczby wyrazów (która jest pochodną liczby \(k\)).

(Jeżeli to ma jakieś znaczenie - Zad. 724 ze zbioru A. Kiełbasy; rok 2015)

[radagast]

Skoro suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych... to wszystkich ( a nie jakiejś skończonej ilości tych wyrazów).
Mamy więc \(\frac{a_1}{1-q^2}= 4\frac{a_1q}{1-q^2}\)
Stąd oczywiście \(q= \frac{1}{4}\)

[illwreakyabonez]

Skoro suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych... to wszystkich ( a nie jakiejś skończonej ilości tych wyrazów).
Mamy więc \(\frac{a_1}{1-q^2}= 4\frac{a_1q}{1-q^2}\)
Stąd oczywiście \(q= \frac{1}{4}\)

No tak, tylko że chodzi o sumę wszystkich wyrazów ciągu, a ciąg jest skończony. Czy się mylę? Gdzieś indziej ktoś mi powiedział, że istnieje jakiś związek między ciągiem geometrycznym, a jego szeregiem, ale nie sprecyzował jaki ;d

[kerajs]

Szereg geometryczny to suma nieskończonego ciągu geometrycznego .
Fragment:

a szereg \(a _{1} + a _{2} + a _{3} ...\) jest zbieżny.

informuje że ciąg jest nieskończony o \(|q|<1\), a stąd część:

Suma wszystkich wyrazów o nieparzystych numerach ciągu \(\left( a _{n} \right)\) jest cztery razy większa od sumy wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych. Oblicz iloraz ciągu \(\left( a _{n} \right)\).

to:
a suma wszystkich (czyli nieskończenie wielu) wyrazów tego ciągu o indeksach nieparzystych jest cztery razy większa od sumy wszystkich (czyli nieskończenie wielu) wyrazów tego ciągu o indeksach parzystych.


PS

ponieważ na innym forum (tym wielkim)

Co to za wielkie forum, jeśli wolno zapytać?