Szukamy granicy ciągu
\(a_{n}= \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }\).
Oszacowanie z dołu rozumiem: \(\sqrt[n]{ 2^{n} }\).
Oszacowanie z góry podają następujące: \(\sqrt[n]{ n^{2} 2^{n} }\).
Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć krok po kroku jak dojść do górnego oszacowania? Domyślam się, że 1, 2, 3, ... zastępujemy każdorazowo przez n, ale czy ostatnie n też zwiększamy n razy? I jaki tego będzie skutek?
Granica z tw. o 3 ciagach
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
poetaopole
- Stały bywalec
- Posty: 365
- Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
- Podziękowania: 199 razy
- Płeć:
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
\(a_{n}= \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} } \le\\
\sqrt[n]{1 \cdot 2^n+2 \cdot 2^{n}+3 \cdot 2^{n}+...+n \cdot 2^{n} } \le \\
\sqrt[n]{n \cdot 2^n+n \cdot 2^{n}+n \cdot 2^{n}+...+n \cdot 2^{n} }= \sqrt[n]{n \cdot n \cdot 2^n }= 2\sqrt[n]{n^2 }\to 2\)
To jest bardzo grube szacowanie ale wydaje się poprawne
\sqrt[n]{1 \cdot 2^n+2 \cdot 2^{n}+3 \cdot 2^{n}+...+n \cdot 2^{n} } \le \\
\sqrt[n]{n \cdot 2^n+n \cdot 2^{n}+n \cdot 2^{n}+...+n \cdot 2^{n} }= \sqrt[n]{n \cdot n \cdot 2^n }= 2\sqrt[n]{n^2 }\to 2\)
To jest bardzo grube szacowanie ale wydaje się poprawne
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Granica z tw. o 3 ciagach
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{0+0+0+...+0+n \cdot 2^{n} } \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }\le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n \cdot 2^{n}+n \cdot 2^{n}+n \cdot 2^{n}+...+n \cdot 2^{n} }\)
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n \cdot 2^{n} } \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} } \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n (n \cdot 2^{n} ) }\)
\(\Lim_{n\to \infty } 2 \sqrt[n]{n } \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }\le \Lim_{n\to \infty } 2 \sqrt[n]{n^2 }\)
\(2 \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }\le 2\)
Inaczej:
\(1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} =S\\
2+(2^2+1 \cdot 2^2)+(2^3+2 \cdot 2^{3})+(2^4+3 \cdot 2^{4})+...+(2^n+(n-1) \cdot 2^{n})=S\\
2+2^2+2^3+...+2^n+ 1 \cdot 2^2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{4}+...+(n-1) \cdot 2^{n}+(n \cdot 2^{n+1}-n \cdot 2^{n+1})=S\\
(2+2^2+2^3+...+2^n)+2(1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} )-n \cdot 2^{n+1}=S\\
(2^{n+1}-2)+2(S)-n \cdot 2^{n+1}=S\\
S=2^{n+1}(n-1)+2\\
\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }= \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{2^{n+1}(n-1)+2 }=\Lim_{n\to \infty } 2 \sqrt[n]{2(n-1)+ \frac{2}{2^n} }=2\)
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n \cdot 2^{n} } \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} } \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n (n \cdot 2^{n} ) }\)
\(\Lim_{n\to \infty } 2 \sqrt[n]{n } \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }\le \Lim_{n\to \infty } 2 \sqrt[n]{n^2 }\)
\(2 \le \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }\le 2\)
Inaczej:
\(1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} =S\\
2+(2^2+1 \cdot 2^2)+(2^3+2 \cdot 2^{3})+(2^4+3 \cdot 2^{4})+...+(2^n+(n-1) \cdot 2^{n})=S\\
2+2^2+2^3+...+2^n+ 1 \cdot 2^2+2 \cdot 2^{3}+3 \cdot 2^{4}+...+(n-1) \cdot 2^{n}+(n \cdot 2^{n+1}-n \cdot 2^{n+1})=S\\
(2+2^2+2^3+...+2^n)+2(1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} )-n \cdot 2^{n+1}=S\\
(2^{n+1}-2)+2(S)-n \cdot 2^{n+1}=S\\
S=2^{n+1}(n-1)+2\\
\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{1 \cdot 2+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+...+n \cdot 2^{n} }= \Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{2^{n+1}(n-1)+2 }=\Lim_{n\to \infty } 2 \sqrt[n]{2(n-1)+ \frac{2}{2^n} }=2\)