Szereg geometryczny

[Euvarios]

Witam, mam problem nie tyle z samym szeregiem, a raczej ze standardem tworzenia założeń. Całego zadania nie będę podawał, wystarczy wiedzieć, że wzór ogólny ciągu to \(a_n=( \frac{p}{1-p})^{2n+1}\) gdzie \(p \neq 1\)
Mam obliczyć dla jakich \(p\)
\(a_1 + a_2 + a_3 + \ldots\) jest zbieżny.
Zacząłem od wyliczenia iloczynu ciągu. \(q = \frac{a_2}{a_1}\). W tym momencie robię założenie, że \(a_1 \neq 0\), a więc \((\frac{p}{1-p})^{3} \neq 0\) czyli \(p \neq 0\)
Później już tylko wyliczam kiedy szereg jest zbieżny, \(|q| < 1\) i wychodzi mi (po uwzględnieniu założeń), że \(q \in (- \infty ; 0) \cup (0; \frac{1}{2})\), odpowiedzi podają: \(q \in (- \infty ; \frac{1}{2})\). Błąd leży więc w założeniu. Jak to więc jest? Założenie stawiamy dopiero po uproszczeniu równania, czy może na początku? Jakie założenie powinno mieć np. \(x =
\frac{x^2 +3x + 2}{(x+2)(x-3)}\)? \(x \neq -2 \vee x \neq 3\)? Czy może tylko \(x \neq 3\) bo góra po rozbiciu skróci się z dolnym i zostanie jedynie \(\frac{x+1}{x-3}\)?

[panb]

Coś źle policzyłeś. W odpowiedzi jest OK.
Liczysz \(q= \frac{a_2}{a_1}= \frac{p^2}{(1-p)^2} \So |q|<1 \iff \frac{p^2}{(1-p)^2}<1 \iff 2p<1 \iff p<0,5 ,\,\,\, p \neq 0\)
Trzeba jeszcze rozpatrzeć przypadek \(p=0\)
Wtedy \(a_n=0 , \,\, n\in \nn\), więc szereg jest wtedy zbieżny.

Reasumując, suma jest skończona dla \(p< \frac{1}{2}\) - jak w odpowiedziach.

Błąd nie był w założeniach. Jeśli wykluczasz zero z tobie potrzebnych powodów, to potem trzeba sprawdzić co się dzieje dla tej wykluczonej wartości.

[Euvarios]

Dziękuję za odpowiedź. Faktycznie, założenia założeniami ale wypada później sprawdzić co się dzieje dla tej wykluczonej wartości. Myślałem, że skoro nie da się utworzyć q bez wykluczenia możliwości dzielenia przez 0 to później wszystkie działania z wykorzystaniem q dziedziczą te założenie i nic nie da się z tym zrobić.