Niech \(\left\{ a_{n} \right\}\) będzie ciągiem ograniczonym, spełniającym zależność:
\(a_{n+1} \ge a_{n}- \frac{1}{ 2^{n} }\).
Mam wykazać, że ciąg jest zbieżny.
Zbieżność ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
Masz informację,że jest ograniczony.
Trzeba pokazać,że jest monotoniczny.
\(a_{n+1}= a_n- \frac{1}{2^n}\\a_{n+1}-a_n = - \frac{1}{2^n}\)
To oznacza,że ciąg jest malejący,czyli monotoniczny.
Trzeba to samo wykazać,gdy jest
\(a_{n+1}-a_n>- \frac{1}{2^n}\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{-1}{2^n}=0^{-}\;\;\;\;\;czyli\;\;\;wciąż\;\; jest\;\; ujemna\)
Coś mądrego trzeba tu dopisać,ale póki co nie mam pomysłu...
Masz informację,że jest ograniczony.
Trzeba pokazać,że jest monotoniczny.
\(a_{n+1}= a_n- \frac{1}{2^n}\\a_{n+1}-a_n = - \frac{1}{2^n}\)
To oznacza,że ciąg jest malejący,czyli monotoniczny.
Trzeba to samo wykazać,gdy jest
\(a_{n+1}-a_n>- \frac{1}{2^n}\)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{-1}{2^n}=0^{-}\;\;\;\;\;czyli\;\;\;wciąż\;\; jest\;\; ujemna\)
Coś mądrego trzeba tu dopisać,ale póki co nie mam pomysłu...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.