Ograniczoność i podzielność przez liczbę 2003

[jagielloma]

Mam 3 zadanka i nie wiem jak je ruszyć.

1. Dane są liczby \(a=\sqrt{3}-1\), \(b=2(2-\sqrt{3})\), \(c=2(3\sqrt{3}-5)\). Czy liczby \(c\), \(b\), \(a\) mogą być odpowiedni: pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego?

2. Ciąg \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym. Czy ciąg \((d_n)\), gdzie \(d_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_n\) może być ciągiem ograniczonym?

3. Dany jest ciąg \((a_n)\) określony następująco: \(a_1=3\), \(a_2=1\) i \(a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n\) dla \(n>2\). Czy nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu jest podzielnych przez 2003?

[eresh]

Mam 3 zadanka i nie wiem jak je ruszyć.

1. Dane są liczby \(a=\sqrt{3}-1\), \(b=2(2-\sqrt{3})\), \(c=2(3\sqrt{3}-5)\). Czy liczby \(c\), \(b\), \(a\) mogą być odpowiedni: pierwszym, trzecim i piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego?

\(a_3=a_1q^2\\
2(2-\sqrt{3})=2(3\sqrt{3}-5)q^2\\
2-\sqrt{3}=(3\sqrt{3}-5)q^2\\
q^2=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)


\(a_5=a_1q^4\\
\sqrt{3}-1=2(3\sqrt{3}-5)(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2\\
\sqrt{3}-1=\frac{(3\sqrt{3}-5)(4+2\sqrt{3})}{2}\\
\sqrt{3}-1=(3\sqrt{3}-5)(2+\sqrt{3})\\
\sqrt{3}-1=6\sqrt{3}+9-10-5\sqrt{3}\\
\sqrt{3}-1=\sqrt{3}-1\)

odp. mogą

[kerajs]

1)
\(q^2= \frac{b}{a}= \frac{c}{b} \So b^2=ac\)

2)
Jeśli d_n jest ciągiem skończonym to będzie także ograniczonym.
Dla nieskończonego ciągu {d_n} o różnicy:
a) dodatniej, ciąg sum nie będzie ograniczony z góry ,
b) ujemnej, ciąg sum nie będzie ograniczony z dołu
c) równej zero :
c1. ciąg sum nie będzie ograniczony z góry dla dodatniego \(a_1\)
c2. ciąg sum nie będzie ograniczony z dołu dla ujemnego\(a_1\)
c3. ciąg sum będzie ograniczony dla \(a_1=0\) bo wszystkie sumy są zerowe.

3)
\(a_n=5-2n\)
wyrazy podzielne przez 2003 to \(-2003,-3 \cdot 2003,-5 \cdot 2003,-7 \cdot 2003,...\) czyli wyrazy \(a_{2,5+(2k-1) \cdot 1001,5}\)