Ciąg geometryczny w planimetrii

[poetaopole]

Na okręgu opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę \(30 ^{o}\). Wykaż, że krótsza przekątna, bok oraz dłuższa przekątna w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

[eresh]

a - bok
d - krótsza przekątna
D - dłuższa przekątna

z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cos 30^{\circ}\\
d^2=2a^2-a^2\sqrt{3}\\
d^2=a^2(2-\sqrt{3})\\
d=a\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

\((0,5d)^2+(0,5D)^2=a^2\\
0,25d^2+0,25D^2=a^2\\
D^2=4a^2-d^2\\
D^2=4a^2-a^2(2-\sqrt{3})\\
D^2=a^2(2+\sqrt{3})\\
D=a\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

\(D\cdot d=a\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot a\sqrt{2-\sqrt{3}}=a^2\sqrt{4-3}=a^2\)
ciąg \((d,a,D)\) jest geometryczny