Własność sumy ciągu arytmetycznego pod warunkiem

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Własność sumy ciągu arytmetycznego pod warunkiem

Post autor: poetaopole »

Wykaż, że jeżeli dla dowolnego ciągu arytmetycznego \(\left( a_{n} \right)\) spełniony jest warunek: \(\frac{ S_{n+1} }{S _{n} }= \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{2}\), to \(\frac{ a_{n+1} }{ a_{n} } = \frac{2n+1}{2n-1}\).
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1302 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Ponieważ już wiesz jak to rozwiązać, pokażę wersję prymitywniejszą.

Gdy nie wiesz jak zadanie ''ugryźć'' to podstawiaj:
\(n=1\\
\frac{S_2}{S_1}=(1+ \frac{1}{1} )^2\\
\frac{a_1+a_2}{a_1}=4\)

\(a_2=3a_1\\
a_1+r=3a_1\\
r=2a_1\)

Sprawdzasz wzór ogólny:
\(P= \frac{S_{n+1}}{S_n}= \frac{(2a_1+nr) \cdot \frac{n+1}{2} }{(2a_1+(n-1)r) \cdot \frac{n}{2}}= \frac{(2a_1+n2a_1)(n+1)}{(2a_1+(n-1)2a_1)n}= \frac{2a_1(n+1)(n+1)}{2a_1(n)n}= \frac{(n+1)^2}{n^2}=(1+ \frac{1}{n} )^2=L\)
Wzór działa dla ciągów o \(r=2a_1 \wedge a_1 \neq 0\)
Teraz wystarczy wykazać drugą równość dla takich ciągów.
poetaopole
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 365
Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
Podziękowania: 199 razy
Płeć:

Post autor: poetaopole »

No, interesujące podejście :) Dziekuję
ODPOWIEDZ