Pomocy! Nieskończony ciąg geometryczny z logarytmów.

[kacperus98]

to wyglądało mniej więcej tak:

rozwiąż równanie

1+log^2x+log^4x+log^6x+...=8/9 tutaj logarytm jest do kwadratu, to jest iloraz ciągu --- log x * log x
mi wyszło x= pierwiastek 3 stopnia z 10, czy może ktoś sprawdzić czy dobrze?

[Galen]

\(1+log^2x+log^4x+log^6x+...=\frac{9}{8}\)
Sprawdź prawą stronę równania,bo po lewej do 1 dodajesz wartości nieujemne,zatem suma musi być większa od 1.
\(a_1=1\\q=log^2x\;\;\;\;i\;\;\;x>0\\|q|<1\;\;\;czyli\;\;\;\;\;|log^2x|<1\\logx>-1\;\;\;i\;\;\;logx<1\\x\in ( \frac{1}{10};10)\)
Dla tych iksów istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego
\(S= \frac{a_1}{1-q}= \frac{1}{1-log^2x}= \frac{9}{8}\\8=9(1-log^2x)\\ \frac{8}{9}=1-log^2\\log^2x= \frac{1}{9}\\logx=- \frac{1}{3}\;\;\;lub\;\;\;logx= \frac{1}{3}\)
\(x_1= \frac{1}{ \sqrt[3]{10} }\\x_2= \sqrt[3]{10}\)

[sebnorth]

brak rozwiązania widać na oko, lewa strona jest \(\ge 1\)

[sebnorth]

w zadaniu jest \(\frac{8}{9}\) czy \(\frac{9}{8}\)?

[kacperus98]

tam jest 8/9

dzięki Galen ja napisałem, że logx \(\neq\) \(\frac{1}{3}\) bo pomyslalem ze x>0 ...