wyznacz wszystkie wartości a, a należy do \rr, dla których istnieje taka liczba q, że szereg:
a+aq+aq^2+aq^3+...
jest zbieżny, a jego suma jest równa q
Szereg Geometryczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
sebnorth
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
\(\frac{a}{1-q} = q\)
\(a = q - q^2\)
\(q^2 -q+a=0\)
\(\Delta = 1-4a\)
\(\Delta \ge 0 \iff a \le \frac{1}{4}\)
Rozważmy \(2\) przypadki
1) \(a = \frac{1}{4}\), wtedy \(q_0 = \frac{1}{2}\)
2) \(a<\frac{1}{4}\), czyli \(\Delta >0\), dwie możliwe wartości \(q\):
\(q_1 = \frac{1- \sqrt{1-4a} }{2}, q_2 = \frac{1+ \sqrt{1-4a} }{2}\)
Trzeba zbadać dla jakich \(a<\frac{1}{4}\) wartości \(q_1\) lub \(q_2\) są z przedziału \((-1;1)\)
np. dla \(q_1\) rozwiązujemy:
\(-1 < \frac{1- \sqrt{1-4a} }{2} < 1\)
\(-2 < 1- \sqrt{1-4a} < 2\)
\(-3 < - \sqrt{1-4a} < 1\)
\(3 >\sqrt{1-4a} > -1\)
\(9 > 1-4a \ge 0\)
\(a \in (-2 ; \frac{1}{4} >\)
\(a = q - q^2\)
\(q^2 -q+a=0\)
\(\Delta = 1-4a\)
\(\Delta \ge 0 \iff a \le \frac{1}{4}\)
Rozważmy \(2\) przypadki
1) \(a = \frac{1}{4}\), wtedy \(q_0 = \frac{1}{2}\)
2) \(a<\frac{1}{4}\), czyli \(\Delta >0\), dwie możliwe wartości \(q\):
\(q_1 = \frac{1- \sqrt{1-4a} }{2}, q_2 = \frac{1+ \sqrt{1-4a} }{2}\)
Trzeba zbadać dla jakich \(a<\frac{1}{4}\) wartości \(q_1\) lub \(q_2\) są z przedziału \((-1;1)\)
np. dla \(q_1\) rozwiązujemy:
\(-1 < \frac{1- \sqrt{1-4a} }{2} < 1\)
\(-2 < 1- \sqrt{1-4a} < 2\)
\(-3 < - \sqrt{1-4a} < 1\)
\(3 >\sqrt{1-4a} > -1\)
\(9 > 1-4a \ge 0\)
\(a \in (-2 ; \frac{1}{4} >\)