Zadanie z ciągów i granicy.

[kikikeke]

Niech a(n) oznacza sumę wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 3 i mniejszych bądź równych 3n. Natomiast b(n) oznacza sumę wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 3 i mniejszych bądź równych 3n. Oblicz granicę ilorazu a(n) przez b(n)
Z góry dziękuję na za pomoc.

[eresh]

\(S_1=\frac{3+3n}{2}\cdot n=\frac{3n+3n^2}{2}\\
S_2=\frac{1+3n}{2}\cdot 3n-\frac{3n+3n^2}{2}=\frac{3n+9n^2-3n-3n^2}{2}=\frac{6n^2}{2}\\
\Lim_{n\to\infty}\frac{3n+3n^2}{6n^2}=\frac{1}{2}\)

[kikikeke]

mógłbyś powiedzieć coś więcej?

[eresh]

pierwszy ciąg:
\(a_1=3\\
a_2=6\\
...\\
a_n=3n\)
ciąg arytmetyczny
\(S=\frac{3+3n}{2}\cdot n\)

żeby policzyć sumę wyrazów drugiego ciągu można od sumy wszystkich liczb odjąć sumę tych, które dzielą się przez 3

[kikikeke]

A 3n nie oznacza przypadkiem liczby wyrazów? w takim przypadku ostatnim wyrazem byłby wyraz 9n?

[eresh]

w pierwszym ciągu mamy n wyrazów

[kikikeke]

Dlaczego n a nie 3n?

[eresh]

\(3,6,9,12,....3n\)
załóżmy że jest ich k, wtedy ze wzoru na k-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\(3n=3+(k-1)\cdot 3\\
3n=3+3k-3\\
3n=3k\\
k=n\)
czyli jest ich n

[kikikeke]

teraz już rozumiem- dziękuję CI bardo