Ciekawa własność ciągu arytmetycznego

[poetaopole]

Gdzieś kiedyś usłyszałem (podaję to z pamięci, więc raczej nie zabrzmi to profesjonalnie), że nieparzysta suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego równa się nieparzystej wielokrotności jego środkowego wyrazu.
Spróbowałem to jakoś zapisać i wyszło coś takiego: \(S _{2n-1} =(2n-1) \cdot a _{n}\). Umiałby ktoś coś takiego udowodnić?

[Galen]

Policz sumę z wzoru \(S_k= \frac{2a_1+(k-1)r}{2} \cdot k\) oraz z zastosowaniem średniej arytmetycznej.Wyraz środkowy równa się średniej arytmetycznej pierwszego i ostatniego,drugiego i przedostatniego itd.
\(S_{2n-1}= \frac{2a_1+(2n-2)r}{2} \cdot (2n-1)=[a_1+(n-1)r]\cdot (2n-1)=a_n(2n-1)\)
Policz teraz z użyciem średniej arytmetycznej
\(S_{2n-1}= \frac{a_1+a_{2n-1}}{2} \cdot (2n-1)= \frac{a_1+(a_1+(2n-2)r)}{2}(2n-1)=\\= \frac{2a_1+2(n-1)r}{2} \cdot (2n-1)=(a_1+(n-1)r) \cdot (2n-1)=a_n \cdot (2n-1)\)

[poetaopole]

Czy dobrze Cię zrozumiałem? Są to 2 niezależne od siebie dowody, tak?

[Galen]

Tak jest.
Obliczasz sumę z użyciem znanego wzoru na S i porównujesz z sumą ,która jest iloczynem środkowego wyrazu przez liczbę sumowanych wyrazów.Otrzymujesz ten sam wynik.