ciąg arytmetyczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Często tu bywam
- Posty: 171
- Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
- Podziękowania: 14 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
ciąg arytmetyczny
Udowodnij, ze jeżeli w ciągu arytmetycznym \((a _{n} )\) prawdą jest, że \(S _{m}: S_{n} = m^2:n^2\) to \(a _{m}:a _{n} =(2m-1):(2n-1)\), gdzie \(S _{m} =a _{1} +...+a _{m}\)i \(S _{n} =a _{1} +...+a _{n}\)
-
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Można podejść tak :
skoro \(\frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}\) \(\\) to \(\\) \(S_m=z \cdot m^2\) , \(S_n=z \cdot n^2\) ,\(z \in R\)
............................................................
\(S_m=\frac{a_1+a_m}{2} \cdot m=z \cdot m^2\)\(\\) ,\(\\)\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n=z \cdot n^2\)
Stąd : \(a_1+a_m=2m \cdot z\) \(\\) ,\(\\) \(a_1+a_n=2n \cdot z\)
Stąd \(\\) \(a_m-a_n=2(m-n) \cdot z\) , oraz z własności c. a. jest \(a_m-a_n=(m-n) \cdot r\) , gdzie \(r\) \(\\) różnica ciągu arytmetycznego
Stąd \(2z=r\)
Stąd : \(a_1+a_m=m \cdot r\) \(\\) ,\(\\) \(a_1+a_n=n \cdot r\)
Teraz z włąsności c. a . \(\\) jest \(a_m= a_1+(m-1) \cdot r\) , \(a_n=a_1+(n-1) \cdot r\)
Stąd podstawiając powyższe do : \(a_1+a_m=m \cdot r\) \(\\) ,\(\\) \(a_1+a_n=n \cdot r\)
Jest : \(a_1+ a_1+(m-1) \cdot r =mr\) , \(\\) \(a_1+ a_1+(n-1) \cdot r =nr\)
Stąd \(\\) \(2a_1=r\) .
Teraz \(a_m= a_1+(m-1) \cdot r= \frac{r}{2} +(m-1) \cdot r =r \cdot (m-\frac{1}{2})\)
Analogicznie \(a_n=r \cdot (n-\frac{1}{2})\)
...................................................................
Teraz \(\frac{a_m}{a_n} = \frac{ m-\frac{1}{2} }{ n-\frac{1}{2} }\) =\(\frac{2m-1}{2n-1}\)
..................................................................
uff.
skoro \(\frac{S_m}{S_n} = \frac{m^2}{n^2}\) \(\\) to \(\\) \(S_m=z \cdot m^2\) , \(S_n=z \cdot n^2\) ,\(z \in R\)
............................................................
\(S_m=\frac{a_1+a_m}{2} \cdot m=z \cdot m^2\)\(\\) ,\(\\)\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n=z \cdot n^2\)
Stąd : \(a_1+a_m=2m \cdot z\) \(\\) ,\(\\) \(a_1+a_n=2n \cdot z\)
Stąd \(\\) \(a_m-a_n=2(m-n) \cdot z\) , oraz z własności c. a. jest \(a_m-a_n=(m-n) \cdot r\) , gdzie \(r\) \(\\) różnica ciągu arytmetycznego
Stąd \(2z=r\)
Stąd : \(a_1+a_m=m \cdot r\) \(\\) ,\(\\) \(a_1+a_n=n \cdot r\)
Teraz z włąsności c. a . \(\\) jest \(a_m= a_1+(m-1) \cdot r\) , \(a_n=a_1+(n-1) \cdot r\)
Stąd podstawiając powyższe do : \(a_1+a_m=m \cdot r\) \(\\) ,\(\\) \(a_1+a_n=n \cdot r\)
Jest : \(a_1+ a_1+(m-1) \cdot r =mr\) , \(\\) \(a_1+ a_1+(n-1) \cdot r =nr\)
Stąd \(\\) \(2a_1=r\) .
Teraz \(a_m= a_1+(m-1) \cdot r= \frac{r}{2} +(m-1) \cdot r =r \cdot (m-\frac{1}{2})\)
Analogicznie \(a_n=r \cdot (n-\frac{1}{2})\)
...................................................................
Teraz \(\frac{a_m}{a_n} = \frac{ m-\frac{1}{2} }{ n-\frac{1}{2} }\) =\(\frac{2m-1}{2n-1}\)
..................................................................
uff.