limes

[dobrzyc]

a) \(\Lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2 + \sqrt{n+1} } - \sqrt{n^2 - \sqrt{n-1} } }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }\)
b) \(\lim_{ x\to1 } \left( \frac{x^6 - 1}{1 - x^2} \right)\)

[panb]

\(\Lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2 + \sqrt{n+1} } - \sqrt{n^2 - \sqrt{n-1} } }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }=
\Lim_{n\to \infty } \frac{2 \sqrt{n-1} }{\sqrt{n^2 + \sqrt{n+1} } + \sqrt{n^2 - \sqrt{n-1}} } \cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n-1-n}= \frac{2( \sqrt{n^2-1}+ \sqrt{n^2-n} ) }{\sqrt{n^2 + \sqrt{n+1} } + \sqrt{n^2 - \sqrt{n-1}}}\)

... dalej ty.

[panb]

\(\frac{x^6-1}{1-x^2}= \frac{(x^3-1)(x^3+1)}{(x-1)(x+1)}\) itd. aż skróci się czynnik (x-1).
Wtedy wstawiamy 1 za iksa i mamy granicę.

[dobrzyc]

\(\frac{x^6-1}{1-x^2}= \frac{(x^3-1)(x^3+1)}{(x-1)(x+1)}\) itd. aż skróci się czynnik (x-1).
Wtedy wstawiamy 1 za iksa i mamy granicę.

\(\frac{(x-1) (x^2 + x +1)(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x+1)} = (x^2 + x +1) (x^2 - x +1)\)
\(\Lim_{x\to1 } (x^2 + x +1) (x^2 - x +1)= (1+1+1)(1-1+1) = 3\) a powinno byc -3

[panb]

Bo w mianowniku nie ma być \((x-1)(x+1)\) tylko \((1-x)(1+x)=-(x-1)(x+1)\)
Poza tym ładnie sobie poradziłaś - trzeba być czujnym, ja odruchowo tak napisałem ...

[dobrzyc]

\(\Lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n^2 + \sqrt{n+1} } - \sqrt{n^2 - \sqrt{n-1} } }{ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }=
\Lim_{n\to \infty } \frac{2 \sqrt{n-1} }{\sqrt{n^2 + \sqrt{n+1} } + \sqrt{n^2 - \sqrt{n-1}} } \cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n-1-n}= \frac{2( \sqrt{n^2-1}+ \sqrt{n^2-n} ) }{\sqrt{n^2 + \sqrt{n+1} } + \sqrt{n^2 - \sqrt{n-1}}}\)

... dalej ty.

\(...= \frac{ 2\sqrt{n^2(1- \frac{1}{n} } + \sqrt{n^2 ( 1 + \frac{1}{n} } }{n \sqrt{1 + \sqrt{n+1} } + n \sqrt{1 - \sqrt{n+1} } }\)
w mianowniku nadal nieskonczonosc

[radagast]

No to jeszcze podziel licznik i mianownik przez n (pamiętaj, że pod pierwiastkiem dzielisz przez \(n^2\))