asymptoty

[dobrzyc]

wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:
a) \(f(x)= 3 - \frac{4}{x} - \frac{4}{x^2}\) odp. x=0, y=3
b) \(f(x) = \frac{x^3}{(x+1)^2}\) (nie mam odp.)

[radagast]

wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:
a) \(f(x)= 3 - \frac{4}{x} - \frac{4}{x^2}\) odp. x=0, y=3

\(f(x)= 3 - \frac{4}{x} - \frac{4}{x^2}\)

\(D_f=R \bez \left\{ 0\right\}\)
\(\Lim_{x\to 0^-} f(x)=\Lim_{x\to 0^-} \left( 3 - \frac{4}{x} - \frac{4}{x^2}\right) =\Lim_{x\to 0^-} \left( 3 - \frac{4}{x} \left(1+ \frac{1}{x}\right)\right)=3- \frac{4}{- \infty \left(1+ (- \infty ) \right) }= -\infty\)
\(\Lim_{x\to 0^+} f(x)=\Lim_{x\to 0^+} \left( 3 - \frac{4}{x} - \frac{4}{x^2}\right) =\Lim_{x\to 0^+} \left( 3 - \frac{4}{x} \left(1+ \frac{1}{x}\right)\right)=3- \frac{4}{ \infty \left(1+ ( \infty ) \right) }= -\infty\)
wniosek: x=0 jest asymptotą pionową obustronną.


\(\Lim_{x\to \pm \infty } f(x)= \Lim_{x\to \pm \infty }3 - \frac{4}{x} - \frac{4}{x^2}=3\)
wniosek: y=3 jest asymptotą poziomą obustronną.

Skoro jest pozioma obustronna, to ukośnych brak.

[radagast]

wyznacz wszystkie asymptoty funkcji:
b) \(f(x) = \frac{x^3}{(x+1)^2}\) (nie mam odp.)

\(\Lim_{x\to \pm \infty } f(x) = \Lim_{x\to \pm \infty } \frac{x^3}{(x+1)^2}= \pm \infty\)
\(D_f=R \bez \left\{-1 \right\}\)
wniosek: brak asymptot poziomych
\(\Lim_{x\to -1^ \pm } f(x) = \infty\)
wniosek:x=-1 jest asymptotą pionową .
\(a=\Lim_{x\to \pm \infty } \frac{f(x)}{x}= \Lim_{x\to \pm \infty } \frac{ \frac{x^3}{(x+1)^2}}{x}=\Lim_{x\to \pm \infty } \frac{x^2}{(x+1)^2}=1\)
\(b=\Lim_{x\to \pm \infty }f(x)-x=\Lim_{x\to \pm \infty }\frac{x^3}{(x+1)^2}-x=\Lim_{x\to \pm \infty }\frac{x^3}{x^2+2x+1}-x=\Lim_{x\to \pm \infty }\frac{x^3-x^3-2x^2-1}{x^2+2x+1}=-2\)
\(y=x-2\) jest asymptopą ukośną obustronną

[dobrzyc]

dziękuje za pomoc