Witam, mam problem z zadaniem, oto treść:
Znajdź granicę, korzystając ze wzoru:
\(\Lim_{x\to -\infty} = \left(1 + \frac{1}{n} \right) ^n = e\)
\(a) a_n= \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{n+2}\\
b) a_n= \left( \frac{3n-1}{3n+1}\right) ^{n+4}\\
c) a_n= \left(\frac{3n^2+1}{3n^2-1} \right) ^{3n^2}\\
d) a_n= \left( \frac{n+2}{n+1} \right) ^n \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right) ^4\\
e) a_n= \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^n\)
Oblicz granicę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Żeby się dobrze wyświetlało musisz zapis LaTeX'a ująć w takie tagi:
Zrobię przykład a) i b). Ty spróbuj następny. Jak się uda, to będziesz to umiał - warto, to stały punkt kolokwiów i egzaminów.
\[\Lim_{n\to \infty }\left( \frac{3n-1}{3n+1} \right)^{n+4}=e^{- \frac{2}{3} }\]
Kod: Zaznacz cały
[tex][/tex]
- \(a_n= \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+2}= \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \cdot \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^2\)
\(\Lim_{n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n=e\\
\Lim_{n\to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^2= \left[ \Lim_{n\to \infty }\left( 1+ \frac{1}{n} \right)\right]^2=(1+0)^2=1\)
Wobec tego:
\(\Lim_{n\to \infty } \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+2}=e\) - \(a_n= \left( \frac{3n-1}{3n+1} \right)^{n+4}= \left( \frac{(3n+1)-2}{3n+1} \right)^{n+4}= \left(1- \frac{2}{3n+1} \right)^{n+4}= \left( 1+ \frac{1}{ -\frac{3n+1}{2} } \right)^{n+4}=\\
= \left[ \left(1+ \frac{1}{- \frac{3n+1}{2} } \right)^{ -\frac{3n+1}{2} }\right]^{- \frac{2}{3n+1} \cdot (n+4) }=\left[ \left(1+ \frac{1}{- \frac{3n+1}{2} } \right)^{ -\frac{3n+1}{2} }\right]^{- \frac{2n+8}{3n+1} }\)
\[\Lim_{n\to \infty }\left( \frac{3n-1}{3n+1} \right)^{n+4}=e^{- \frac{2}{3} }\]