Zbadaj monotonicznosc ciagu

[thoth]

((n+2)!+(n+1)!)/((n+2)!+(n+1)!)=an

[Galen]

W liczniku i w mianowniku masz to samo?
Jeśli tak,to ciąg jest stały
\(a_n=1\)

[thoth]

((n+2)!+(n+1)!)/((n+2)!-(n+1)!)=an

zle przepisalem, sorry

[michal486]

\(a_n = \frac{(n+2)! + (n+1)!}{(n+2)! - (n+1)!} = \frac{(n+1)! \cdot (n+2) + (n+1)!}{(n+1)! \cdot (n+2) - (n+1)!} = \frac{(n+1)!(n+2+1)}{(n+1)!(n+2-1)} = \frac{n+3}{n+1}\)
\(a_{n+1} = \frac{(n+1)+3}{(n+1)+1} = \frac{n+4}{n+2}\)
\(a_{n+1} - a_n = \frac{n+4}{n+2} - \frac{n+3}{n+1} = \frac{ (n+1)(n+4) - (n+3)(n+2) }{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2 + 5n + 4 - n^2 - 5n - 6}{(n+1)(n+2)} = \frac{- 2}{(n+1)(n+2)}\)
Licznik \(< 0\) (bo - 2 < 0)
Mianownik \(> 0\) (bo \(n \in \nn )\)
zatem jest to ciąg malejący.

[thoth]

\frac{(n+1)! \cdot (n+2) + (n+1)!}{(n+1)! \cdot (n+2) - (n+1)!} = \frac{(n+1)!(n+2+1)}{(n+1)!(n+2-1)}
nie rozumiem tego przejscia jak ktos potrafilby wytlumaczyc bylbym wdzieczny

[thoth]

tego rownania*

[michal486]

\(\frac{(n+1)! \cdot (n+2) + (n+1)!}{(n+1)! \cdot (n+2) - (n+1)!} = \frac{(n+1)!(n+2+1)}{(n+1)!(n+2-1)}\)

Tego przejścia? no to jest wyciąganie przed nawias, jak mamy
5*3 + 5 to możemy to zapisać jako 5(3+1) (bo 5*3 + 5*1 = 5*3 + 5)
dlatego jak mamy
(n+1)!(n+2) \(+\) (n+1)! to wyciągamy wspólny czynnik przed nawias czyli (n+1)! i wtedy zostaje nam (n+2)\(+\)1

[Galen]

\(a_n= \frac{n+3}{n+1}= \frac{n+1+2}{n+1}=1+ \frac{2}{n+1}\\a_{n+1}=1+ \frac{2}{n+2}\)
\(a_{n+1}-a_n=1+ \frac{2}{n+2}-1- \frac{2}{n+1}= \frac{2}{n+2}- \frac{2}{n+1}= \frac{2n+2-2n-4}{(n+2)(n+1)}= \frac{-2}{(n+2)(n+1)}<0\\a_{n+1}<a_n\)
Ciąg malejący.