Wykaż, że jeśli ciąg

[katie12]

Wykaż, że jeśli ciąg (\(log_{a}x, log_{b}x, log_{c}x\)) jest ciągiem geometrycznym, to \(log_{a}b=log_{b}c\).

[radagast]

Wykaż, że jeśli ciąg (\(log_{a}x, log_{b}x, log_{c}x\)) jest ciągiem geometrycznym, to \(log_{a}b=log_{b}c\).

ciąg (\(log_{a}x, log_{b}x, log_{c}x\)) jest ciągiem geometrycznym zatem
\(log_{b}x= \sqrt{log_{a}x \cdot log_{c}x}\)
po zamianie podstaw logarytmów z prawej strony mamy:
\(log_{b}x= \sqrt{ \frac{log_{b}x}{log_{b}a} \cdot \frac{log_{b}x}{log_{b}c}}\)
czyli
\(1= \sqrt{ \frac{1}{log_{b}a} \cdot \frac{1}{log_{b}c}}\)
zatem
\(log_{b}c \cdot log_{b}a=1\)
no to
\(log_{b}c \cdot \frac{1}{log_{a}b} =1\)
i ostatecznie
\(log_{b}c =log_{a}b\)
CBDO