Rozwiąż równania

[katie12]

a) \(2^x\)+2\(^{x-1}\)+\(2^{x-2}\)+...=2*\(\sqrt{8-2^{x+1}}\)

b) \(\frac{1}{4}\)\(\sqrt{12-3^{x+1}}\)=\(3^x\)\(-3^{x-1}+3^{x-2}-3^{x-3}\)\(+3^{x-4}\)\(+...\)

[radagast]

a) \(2^x\)+2\(^{x-1}\)+\(2^{x-2}\)+...=2*\(\sqrt{8-2^{x+1}}\)

\(2^x+2^{x-1}+2^{x-2}+...=2 \sqrt{8-2^{x+1}}\)
lewa strona to suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(2^x\)i ilorazie \(\frac{1}{2}\). Mamy więc do rozwiązania równanie:
\(\frac{2^x}{1- \frac{1}{2} } =2 \sqrt{8-2^{x+1}}\), \(D= \left( - \infty ,2\right>\)
\(2^{x+1} =2 \sqrt{8-2^{x+1}}\)
\(2^{x+1}=t,\ \ \ t \in \left(0,8 \right>\)
\(t =2 \sqrt{8-t}\)
\(t^2+4t-32=0\)
\(t=4\)
\(x=1\) jest jedynym pierwiastkiem równania.