Wzór na sumę wyrazów ciągu

[andrewm12]

Witam, przy liczeniu prostych całek dochodzę do momentu w którym potrzebuję wyprowadzić wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągów podanych poniżej:

1.
i'ty wyraz ciągu -> \(a_i=i^2\)
\(S_n=1+2^2+3^3+...+n^2\)

2.
\(a_i= \sin {\frac{ \pi }{2}* \frac{i}{n}}\)
\(S_n=\sin {\frac{\pi}{2}*\frac{1}{n}}+\sin {\frac{\pi}{2}*\frac{2}{n}}+...+\sin {\frac{\pi}{2}*\frac{n}{n}}\)

[Galen]

1)
\(S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Wzór dowodzi się indukcyjnie.
2)
\(sin{\frac{\pi}{2}}=1\\S_n= \frac{1}{n}+ \frac{2}{n}+...+ \frac{n}{n}= \frac{1+2+...+n}{n}= \frac{ \frac{1+n}{2} \cdot n }{n}= \frac{1+n}{2}\)

[andrewm12]

1)
Wiem, ale dość ciężko mi zrozumieć dowodzenie indukcyjne. Mógłbym prosić o rozpisanie tego?

2)
Tutaj się pomyliłem przy podawaniu treści, chodziło mi o:
\(a_i= \sin({\frac{i}{n}}* \frac{\pi}{2})\)
\(S_n= \sin(\frac{1}{n}* \frac{\pi}{2}) +\sin(\frac{2}{n}* \frac{\pi}{2}) + ... + \sin(\frac{n}{n}* \frac{\pi}{2})\)

[radagast]

(...)

gdzie \(\frac{n}{n} = \frac{\pi}{2}\)

Oj popraw to, bo to nadal jest źle

[andrewm12]

haha, święta racja.
Więc treść jest taka jak napisałem, bez tej głupoty poniżej.