CIĄGI I GRANICE

[mtworek98]

Oblicz granice:

a)\(\Lim_{n\ \infty } (-3n^{10}+6n^4-7n+1)\)
b) \(\Lim_{n\ \infty } \frac{3n^4+2n^3-1}{6n^4+8n^3-1}\)
c)\(\Lim_{n\ \infty } ( \sqrt{n^2+3}-n)\)
d) \(\Lim_{n\ \infty } \frac{4*(5^n+1)-6^n}{2*5^n+3*6^n}\)
e)\(\Lim_{n\ \infty } \frac{5+8+11+...+(3n+2)}{(3n-1)(n+2)}\)
f) \(\Lim_{n\ \infty } ( \frac{1}{1*4}+ \frac{1}{4*7}+...+ \frac{1}{(3n-2)(3n+1)})\)

[Galen]

a)
\(\Lim_{n\to\infty } n^{10}(-3+ \frac{6}{n^6}- \frac{7}{n^9}+ \frac{1}{n^{10}} )=+ \infty \cdot (-3+0-0)=- \infty\)
b)
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{n^4(3+ \frac{2}{n}- \frac{1}{n^4}) }{n^4(6+ \frac{8}{n}- \frac{1}{n^4} )}= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}\)
c)
\(\Lim_{n\to\ infty } \frac{( \sqrt{n^2+3}-n )( \sqrt{n^2+3}+n )}{ \sqrt{n^2+3}+n }= \Lim_{n\to \infty } \frac{3}{ \sqrt{n^2+3}+n }= \frac{3}{ \infty }=0\)

[radagast]

Oblicz granice:

f) \(\Lim_{n\ \infty } \left( \frac{1}{1*4}+ \frac{1}{4*7}+...+ \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}\right)\)

\(\Lim_{n\to \infty } \frac{1}{1*4}+ \frac{1}{4*7}+...+ \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}= \frac{1}{3} \Lim_{n\to \infty } \frac{3}{1*4}+ \frac{3}{4*7}+...+ \frac{3}{(3n-2)(3n+1)}=\\
\frac{1}{3} \Lim_{n\to \infty } \frac{4-1}{1*4}+ \frac{7-4}{4*7}+...+ \frac{(3n+1)-(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}= \frac{1}{3} \Lim_{n\to \infty } \frac{4}{1*4}-\frac{1}{1*4}+ \frac{7}{4*7}- \frac{4}{4*7}+...+ \frac{(3n+1)}{(3n-2)(3n+1)}-\frac{(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}=\\
\frac{1}{3} \Lim_{n\to \infty } \frac{1}{1}-\frac{1}{4}+ \frac{1}{4}- \frac{1}{7}+...+ \frac{(3n+1)}{(3n-2)(3n+1)}-\frac{(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}= \frac{1}{3}\)

[lambda]

e) \(5+8+11+...+(3n+2)= \frac{5+3n+2}{2} \cdot n= \frac{3n^2+7n}{2}\)

\(\Lim_{n\to \infty } \frac{5+8+11+...+(3n+2)}{(3n-1)(n+2)}= \Lim_{n\to \infty } \frac{3n^2+7n}{6n^2+10n-4} = \frac{3}{6} =\frac{1}{2}\)

[alexx17]

\(d) \frac{4 \cdot \left(5^n+1\right)-6^n}{2 \cdot5^n+3 \cdot 6^n} = \frac{ 6^{n} \left(4 \cdot \left( \frac{5}{6}\right)^n-1\right)}{ 6^{n} \left( 2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n} +3\right)} \xrightarrow{n \to \infty } \ = -\frac{1}{3}\)

[mtworek98]

Przepraszam was, ale przykłady a) i d) niestety gdzieniegdzie przedstawiłem wam błędnie w tym skrypcie LaTeX. Miały one wyglądać następująco:



Czy wyniki zmienią się wówczas diametralnie?

[radagast]

a) się nie zmienia, a d) zmienia się na 0
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{4 \cdot 5^{n+1}-6n}{2 \cdot 5^n+3 \cdot 6^n}=\Lim_{n\to \infty } \frac{20 \cdot 5^{n}-6n}{2 \cdot 5^n+3 \cdot 6^n}=\Lim_{n\to \infty } \frac{20 \cdot \left(\frac{5}{6} \right) ^{n}-6 \cdot \frac{n}{6^n} }{2 \cdot \left(\frac{5}{6} \right)^n+3 }= \frac{20 \cdot 0-6 \cdot 0}{2 \cdot 0+3}= \frac{0}{3}=0\)