CIĄGI I GRANICE

[mtworek98]

Trzy liczby a, b, c, których suma wynosi 30, w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli dodamy do nich odpowiednio 2, 8, 38 to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby.

[dariuszorzel1]

Z treści zadania wynika, że \(a+b+c=30\).
Skoro ciąg \((a,b,c)\) jest arytmetyczny, to \(b= \frac{a+c}{2}\).
Ciąg \((a+2,b+8,c+38)\) jest geometryczny, więc \((b+8)^2=(a+2)(c+38)\).
Mamy trzy równania i trzy niewiadome, \(\begin{cases} a+b+c=30\\b= \frac{a+c}{2}\\(b+8)^2=(a+2)(c+38)\end{cases}\).
Potem trzeba podstawić z drugiego równania \(b\) do dwóch kolejnyh.
Wtedy pierwsze równanie ma postać \(a+\frac{a+c}{2}+c=30 \So a+c=20 \So c=20-a\), a drugie \(b= \frac{a+20-a}{2} \So b=10\)
Do trzeciego równania podstawiam wyznaczone wzory na b i c; wtedy to równanie ma postać \(18^2=(a+2)(20-a+38)\)
Po wykonaniu obliczeń powstaje równanie kwadratowe \(a^2-56a+208=0\)
\(\Delta =2304=48^2\), stąd \(a_1=4, a_2=52\).
Mamy więc dwie serie liczb spełniających nasze warunki: \(a_1=4, b_1=10, c_1=16\) i \(a_2=52, b_2=10, c_2=-32\).