wyznacz wartość parametru a

[alibaba8000]

3/ciągi
Wyznacz wartość parametru a, dla której pierwiastki równania
\(x^3+ax^2-6x-8=0\) tworzą ciąg geometryczny. Dla wyznaczonej wartości a oblicz te pierwiastki.

[eresh]

\(x^3+ax^2-6x-8=0\\\)
\(m, mq, mq^2\)- pierwiastki równania
\((x-m)(x-mq)(x-mq^2)=0\\
(x-m)(x^2-xmq^2-xmq+m^2q^3)=0\\
x^3-x^2mq^2-x^2mq+xm^2q^3-mx^2+xm^2q^2+xm^2q-m^3q^3=0\\
x^3+x^2(-mq^2-mq-m)+x(m^2q^3+m^2q^2+m^2q)-m^3q^3=0\\\)


\(-m^3q^3=-8\\
mq=2\\
m=\frac{2}{q}\)


\(m^2q^3+m^2q^2+m^2q=-6\\
\frac{4}{q^2}(q^3+q^2+q)=-6\\
4q+4+\frac{4}{q}=-6\\
4q^2+4q+4+6q=0\\
4q^2+10q+4=0\\
2q^2+5q+2=0\\
q=-\frac{1}{2}\\q=-2\)


dla \(q=-2\):
\(m=-1\\
a=-mq^2-mq-m=4-2+1=3\)
pierwiastki:
\(-1,2,-4\)


dla \(q=-\frac{1}{2}:\)
\(m=-4\\
a=4\cdot 0,25+4\cdot (-0,5)+4=3\\\)
pierwiastki:
\(-4,2,-1\)