Trzy liczby tworzą malejący ciąg arytmetyczny

[katie12]

Trzy liczby tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Jeżeli pierwszą z nich zwiększymy o 1, to otrzymamy ciąg geometryczny. Jeżeli drugi wyraz otrzymanego ciągu geometrycznego zwiększymy 2 razy, a trzeci zwiększymy o 11, to znów otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

[eresh]

(a,b,c) - ciąg arytmetyczny
(a+1, b, c) - ciąg geometryczny
(a+1, 2b, c+11) - ciąg arytmetyczny

\(b=\frac{a+c}{2}\\
2b=\frac{a+1+c+11}{2}\;\;\So\;\;4b=a+c+12\;\;\So\;\;4b=2b+12\;\;\So\;\;2b=12\;\;\So\;\;b=6\\
12=\frac{a+1+c+11}{2}\;\;\So\;\;24=a+c+12\;\;\;\So\;\;c=12-a\\\)

\(b^2=(a+1)c\\
36=(a+1)(12-a)\\
36=12a-a^2+12-a\\
a^2-11a+24=0\\
a=3\;\; \vee \;\;a=8\)

\(a=3\;\;b=6\;\;c=12-3=9\) - ciąg rosnący
\(a=8\;\;b=6\;\;c=4\) - ciąg malejący

[Galen]

a,b,c to wyrazy malejącego ciągu arytmetycznego r<0.
\(b= \frac{a+c}{2}\;\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\;a+c=2b\)
a+1;b;c to wyrazy ciągu geometrycznego
\(b^2=c(a+1)\)
a+1;2b;c+11 to wyrazy ciągu arytmetycznego
\(2b= \frac{a+1+c+11}{2}\\4b=a+c+12\;\;\;\;\;podstaw\;\;a+c=2b\\
4b=2b+12\\2b=12\\b=6\)
Wyrazy ciągu można zapisać:
\(6-r;6;6+r\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;r<0\)
Geometryczny:
\(6-r+1;6;6+r\\czyli\\7-r;6;6+r\\ \frac{6+r}{6}= \frac{6}{7-r}\\(6+r)(7-r)=36\\-r^2+r+6=0\;\;\;i\;\;\;r<0\\r=-2\)
Można zapisać wyrazy ciągu wyjściowego:
\(6-(-2)=8=a\\6=b\\6+(-2)=4=c\)
Sprawdzam,czy z ciągu (8;6;4;...) otrzymamy ciągi podane w zadaniu.
\(9;6;4\;\;\;-\;\;geometryczny\)
\(9;12;15\;\;\;\;\;-\;\;\;\;arytmetyczny\)