ciąg miejsc zerowych wielomianu

[Hunteerq]

Współczynniki wielomianu \(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) spełniają warunek: \(a − b + c = 1\). Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej \(3\). Oblicz współczynniki \(a, b, c\). Rozważ wszystkie możliwe przypadki. Znalazłem rozwiązanie do tego zadania na tej stronie, jednak robiąc to najprostszym i najdłuższym sposobem tracę 2 serie rozwiązań. Zapisałem wielomian w postaci iloczynowej. \(W(x) =(x-x0)(x-x0+3)(x-x0+6)\) wszystko przemnażam i podstawiam odpowiednio za a, b i c. ostatecznie wychodzi mi \(-x0^3+6x0^2-3x0-9=1\) rozwiązując to wychodzą mi rozwiązania \(1, 2, 5\), czyli jedna seria, a w rozwiązaniu na stronie są 3 serie. Jak można rozwiązać to zadanie tym sposobem, aby otrzymać wszystkie 3 serie rozwiązań?

[Panko]

zauważ ,że \(W(-1)= -1+a-b+c=0\) , czyli wystarczy jak rozpatrzysz trzy przypadki ciągów miejsc zerowych :
\(-1,-1+r,-1+2r\),
\(-1-r,-1,-1+r\),
\(-1 -2r,-1-r,-1\)
............................
przyjmujesz \(r=3\) i dostajesz mozliwe ciągi miejsc zerowych :
\(-1,2, 5\)
\(-4,-1,2\)
\(-7,-4,-1\)
.......................................................
teraz zapisujesz wielomian w postaci iloczynowej i wymnażasz i masz współczynniki.

[Hunteerq]

Dziękuję!
Z tego co widzę to powinienem zapisać \(W(x) = (x-x0)(x-x0+3)(x-x0+6), W(x)=(x-x0-3)(x-x0)(x-x0+3)\), oraz
\(W(x)=(x-x0-6)(x-x0-3)(x-x0)\) i rozwiązać wszystkie 3 przypadki. Dziękuję za pomoc,
Pozdrawiam.