Liczby \(2, x-2, 10\) są odpowiednio drugim, trzecim i czwartym wyrazem niemonotonicznego ciągu geometrycznego. Wyznacz x oraz piąty wyraz tego ciągu.
Bardzo proszę w miarę możliwości o wyjaśnienie sposobu wykonania zadania oraz wzory, gdyż chcę zrozumieć w jaki sposób to zrobić.
Wyznacz x oraz piąty wyraz tego ciągu.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
jeśli ciąg ma być geometryczny, to musi być spełniona zależność:
\(a_n^2 =a_{n-1} \cdot a_{n+1}\)
podstawiamy i liczymy
\((x-2)^2 =2\cdot 10 \\
x^2-4x+4=20\\
x^2-4x-16=0 \\
\Delta=16+4\cdot 16=80 \ \So \sqrt{\Delta}=4\sqrt{5}\\
x_1=\frac{4-4\sqrt{5}}{2} =2-2\sqrt{5} \ \vee \ x_2=\frac{4+4\sqrt{5}}{2} =2+2\sqrt{5} \\
q_1=\frac{a_3}{a_2} =\frac{2-2\sqrt{5}-2}{2} =-\sqrt{5} \ \vee \ q_2=\frac{a_3}{a_2} =\frac{2+2\sqrt{5}-2}{2} =\sqrt{5}\)
skoro ciąg ma być niemonotoniczny, to znaczy, że iloczyn tego ciągu \(q\) musi być mniejszy od zera.
Wybieramy więc tą pierwszą odpowiedź.
\(a_5=a_4 \cdot q = 10 \cdot (-\sqrt{5})=-10\sqrt{5}\)
\(a_n^2 =a_{n-1} \cdot a_{n+1}\)
podstawiamy i liczymy
\((x-2)^2 =2\cdot 10 \\
x^2-4x+4=20\\
x^2-4x-16=0 \\
\Delta=16+4\cdot 16=80 \ \So \sqrt{\Delta}=4\sqrt{5}\\
x_1=\frac{4-4\sqrt{5}}{2} =2-2\sqrt{5} \ \vee \ x_2=\frac{4+4\sqrt{5}}{2} =2+2\sqrt{5} \\
q_1=\frac{a_3}{a_2} =\frac{2-2\sqrt{5}-2}{2} =-\sqrt{5} \ \vee \ q_2=\frac{a_3}{a_2} =\frac{2+2\sqrt{5}-2}{2} =\sqrt{5}\)
skoro ciąg ma być niemonotoniczny, to znaczy, że iloczyn tego ciągu \(q\) musi być mniejszy od zera.
Wybieramy więc tą pierwszą odpowiedź.
\(a_5=a_4 \cdot q = 10 \cdot (-\sqrt{5})=-10\sqrt{5}\)