ciag an

[mela1015]

Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=5+(n-1)*2\) ile co najmniej trzeba dodać początkowych wyrazów ciagu aby otrzymana suma byla wieksza od 100?

[domino21]

widać, że jest to ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=2\)
wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\)

\(S_n>100 \\
\frac{5+2(n-1)+5}{2} \cdot n >100\\
\frac{10+2(n-1)}{2} \cdot n >100 \\
n(5+n-1)>100\\
n(4+n)>100 \\
n^2+4n-100>0 \\
\Delta = 16+4\cdot 100 =416 \ \So \sqrt{\Delta} =\sqrt{416} =4\sqrt{26} \\
n_1=\frac{-4-4\sqrt{26}}{2} =-2-2\sqrt{26} \approx -12,2 \\
n_2=\frac{-4+4\sqrt{26}}{2} =-2+2\sqrt{26} \approx 8,2 \\
n \in (-\infty; -2-2\sqrt{26}) \ \cup (-2+2\sqrt{26} ; +\infty) \ \wedge \ n \in N^+\\
n\in \left\{ 9,10,11, . .. \right\}\)

Wychodzi na to, że trzeba dodać co najmniej 9 składników

[Galen]

Warto zapisać wzór na enty wyraz ciągu w prostszej postaci:
\(a_n=5+(n-1) \cdot 2=2n+3\;\;\;\;\;wyrazy\;ciągu\;:\;5;7;9;11;.....\;r=2\)
\(S_n= \frac{2a_1+(n-1)r}{2} \cdot n\)
\(S_n= \frac{2 \cdot 5+2(n-1)}{2} \cdot n= (4+n)n=n^2+4n\)
\(S_n>100\;\;\;\;\;czyli\;\;\;\;\;n^2+4n>100\;\;\;\;\;i\;\;\;\;n\in N^+\)
\(n^2+4n-100>0\\\sqrt{\Delta} \approx 20,4\)
\(n\approx 8;2\\n>8,2\\n\ge 9\;\;\;i\;\;n\in N^+\)
Co najmniej 9 wyrazów.
\(S_9=5+7+9+11+13+15+17+19+21=117\)