Ciągi arytmetyczne - obliczanie różnicy wyrazów i inne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Nelly91
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 23 lut 2010, 18:51

Ciągi arytmetyczne - obliczanie różnicy wyrazów i inne

Post autor: Nelly91 » 23 lut 2010, 18:59

Witam wszystkich. Jestem na forum po raz pierwszy i mam nadzieję, że mogę liczyć tu na pomoc :) Będę wdzięczna :) Jeśli ktoś umie zrobić któreś z zadań, mam nadzieję, że podzieli się ze mną swoją wiedzą.

1. Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 2, a ostatni 42. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest o 242 większa od sumy wyrazów o numerach parzystych. Wyznacz różnicę tego ciągu i liczbę jego wyrazów.

2. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy 5 jest o 500 mniejsza od sumy następnych n wyrazów tego ciągu. Oblicz n.

3. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}\) jest równy 6. Dla pewnej liczby k mamy \(a_{k}=48\), a suma k początkowych wyrazów ciągu \(S_{k}=405\). Oblicz różnicę tego ciągu oraz wyznacz k.

Pozdrawiam.

BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 13:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 » 23 lut 2010, 21:30

\(a_1=2\)
\(a_{2k+1}=42\) (bo nieparzysta liczba wyrazów określona jest wzorem n=2*k+1)
Pierwszy wyraz parzysty
\(a_2=2+r\)
Ostatni wyraz parzysty
\(a_{2k}=42-r\)
Podstawiając do równania
\(\frac{a_1+a_{2k+1}}{2}*(2k+1)=242+ \frac{a_2+a_{2k}}{2}*k\) (bo wyrazów nieparzystych jest wtedy k
mamy
\(\frac{2+42}{2}*(2k+1)=242+ \frac{2+r+42-r}{2}*k\)
Stąd
\(44k+22=242+22k\)
czyli
\(k=10\)
Ilość wyrazów w ciągu wynosi więc 21.
Licząc r ze wzoru
\(a_{21}=a_1+20*r\)
mamy r=2.

BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 13:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 » 23 lut 2010, 21:42

Z warunków zadania wynika, że
\(S_n+500=S_{2n}-S_n\)
Czyli
\(2*S_n+500-S_{2n}=0\)
Podstawiając wzory na sumę cześciową ciągu arytmetycznego, a w nim na wyraz n-ty ciągu, otrzymujemy:
\(2* \frac{a_1+a_1+(n-1)*r}{2}*n+500- \frac{a_1+a_1+(2n-1)*r}{2}*2n\)
Po dokonaniu stosownych obliczeń otrzymujemy
\(2a_1*n+5n^2-5n+500-2a_1*n-10n^2-5n\)
Po redukcji wyrazów podobnych wychodzi, że
\(-5n^2+500=0\) |(-5)
\(n^2-100=0\)
\((n-10)(n+10)=0\)
Więc n=10 (bo n jest liczbą naturalną)

BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 13:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 » 23 lut 2010, 21:53

Z awrunków zadania mamy:
\(a_1=6\)
\(a_k=48\)
\(S_k=405\)
Ze wzorów na k-ty wyraz ciągu arytmetycznego i sumę czesciową ciągu otrzymujemy:
\(48=6+(k-1)*r\)
oraz
\(405=\frac{6+48}{2}*k\)
Z ostatniego równania mamy
\(k=15\)
i wstawiając otrzymane k do pierwszego rówania
\(r=3\)

SevHar
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 02 lut 2021, 12:06
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Pomocy!

Post autor: SevHar » 02 lut 2021, 12:11

Re: Hej, proszę o wytłumaczenie dlaczego z warunków zadania wypisujemy \(S_n+500=S_{2n}-S_n\), a nie \(S_n-500=S_{2n}\).
Ostatnio zmieniony 02 lut 2021, 12:31 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1240
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 597 razy

Re: Ciągi arytmetyczne - obliczanie różnicy wyrazów i inne

Post autor: Jerry » 02 lut 2021, 12:29

SevHar pisze:
02 lut 2021, 12:11
...dlaczego z warunków zadania wypisujemy \(S_n+500=S_{2n}-S_n\), a nie \(S_n-500=S_{2n}\).
Ponieważ
Nelly91 pisze:
23 lut 2010, 18:59
... jest o 500 mniejsza od sumy następnych n wyrazów tego ciągu.
to niższego trzeba postawić na krześle, żeby popatrzył prosto w oczy wyższemu :|

Pozdrawiam
PS. Pisz w kodzie
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .