Granica ciągu z parametrem.

[patryk97]

Wyznacz granicę ciągu \(\Large a_n= \frac{(p+1)n^2+pn}{(p^2-1)n^2+3n+1}\), w zależności od parametru p.

Wychodzi mi:
\(\Large\Lim_{n\to \infty } \frac{n^2[(p+1)+ \frac{p}{n}] }{n^2[(p^2-1)+ \frac{3}{n}+ \frac{1}{n^2}] }= \frac{p+1}{p^2-1}\)

Jeśli dobrze to co z tym dalej zrobić?

[panb]

Wstawiać różne liczby za p i patrzyć co się dzieje .... albo
zastosować wiedzę o wykonalności działań, dziedzinie, czy jak tam zwał.

Widać, że dla \(p \notin \left\{ -1,1\right\}\), granica istnieje i jest równa\(\frac{1}{p-1}\) (p+1) się skróciło.
Dla p=1, \(a_n= \frac{2n^2+n}{3n+1}\), więc granica jest równa .... wiesz ile.
Dla p=-1, \(\frac{-n}{3n+1}\) i tez potrafisz to wyliczyć.

Tak właśnie to się robi, a potem zapisuje się odpowiedź:
\(\Lim_{n\to \infty } \frac{(p+1)n^2+pn}{(p^2-1)n^2+3n+1}= \begin{cases} \frac{1}{p-1}&\text{ dla } p \notin \left\{ -1,1\right\}\\ \ldots & \text{ dla } p=1\\ \ldots & \text{ dla } p=-1\end{cases}\)

[patryk97]

No i teraz mam wątpliwości gdyż dla \(p=1\) granica to \(\frac{1+1}{1^2-1} = \frac{2}{0}=+ \infty\)
a dla \(p=-1\) wychodzi \(\frac{-1+1}{(-1)^2-1} = \frac{0}{0}\) - symbol nieoznaczony, więc granica nie istnieje?
Jednak licząc przez podstawienie:
\(\Lim_{n\to \infty }\frac{-n}{3n+1}=- \frac{1}{3}\)
Więc teraz jak powinno być?

[panb]

Kto ci powiedział, że jak jest symbol nieoznaczony, to granica nie istnieje - po prostu trzeba inaczej liczyć?
Nie wstawia się p=-1 do wzoru, który obowiązuje dla p różnych od (-1). Wstawia się do oryginału!
Więc jak myślisz? Jak powinno być dla p=-1?

[Galen]

Masz podaną odpowiedź przez PanaB.
\(\Lim_{n\to\infty }a_n= \begin{cases} \frac{1}{p-1}\;\;\;\;dla\;\;\;\;p \neq -1\;\;i\;\;\;p \neq 1\\- \frac{1}{3}\;\;\;\;\;dla\;\;\;p=-1\\+\infty\;\;dla\;\;\;p=1 \end{cases}\)

[patryk97]

Dzięki wielkie Wam Panowie
A mi tak w szkole na lekcji nauczycielka na tablicy zrobiła ehh
I nie ogarniałem skąd wzieła, że granica nie istnieje.
A w ogóle kiedy granica ciągu by nie istniała?

[panb]

Mówi się (zwyczajowo), że granica nie istnieje, jeśli jest równa \(\pm \infty\).

[patryk97]

A to wtedy nie jest granica niewłaściwa?
Skoro my w ciągach przy tym zadaniu napisaliśmy, że granica nie istnieje... ;(

[panb]

Tak ściśle biorąc, to nie istnieje granica takiego ciągu: \(d_n=(-1)^n\) albo \(s_n=\sin(n\pi)\)

[elaniq]

Przepraszam za odkop, ale dlaczego bierzemy pod uwagę tylko -1 i 1, dlaczego innych liczb nawet nie wzięliście pod uwagę?

[VirtualUser]

bo dla tych zeruje się najwyższa potęga w mianowniku

[elaniq]

Przepraszam najmocniej to tylko moje gapiostwo