Szereg geometryczny- zadania tekstowe

[kasia96175]

1. W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło itd. Oblicz sumę:
a) długości promieni
b) obwodów
c) pól
wszystkich kół.

2. W kwadrat o boku długości a wpisano koło, w które wpisano kwadrat, a w ten kwadrat znów koło itd. Oblicz sumę:
a) obwodów
b) pól
wszystkich kół.

[eresh]

1. W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło itd. Oblicz sumę:
a) długości promieni
wszystkich kół.

\(a_1=a\\
r_1=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\
r_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{a_2\sqrt{3}}{2}\\
\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a_2\sqrt{3}}{3}\\
a_2=\frac{a}{2}\\
r_2=\frac{1}{3}\cdot\frac{\frac{a}{2}\sqrt{3}}{2}\\
r_2=\frac{a\sqrt{3}}{12}\\
r_2=\frac{2}{3}\frac{a_3\sqrt{3}}{2}\\
\frac{a\sqrt{3}}{12}=\frac{a_3\sqrt{3}}{3}\\
a_3=\frac{a}{4}\\
r_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{\frac{a}{4}\sqrt{3}}{2}\\
r_3=\frac{a\sqrt{3}}{24}\\
...\\
q=\frac{r_2}{r_1}=\frac{r_3}{r_2}=\frac{1}{2}\\
S=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{1-0,5}\\
S=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

[eresh]

1. W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło itd. Oblicz sumę:
b) obwodów
c) pól
wszystkich kół.

b)
\(O_1=2\pi\cdot\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}\pi}{3}\\
O_2=2\pi\cdot\frac{a\sqrt{3}}{12}=\frac{a\sqrt{3}\pi}{6}\\
O_3=2\pi\cdot\frac{a\sqrt{3}}{24}=\frac{a\sqrt{3}\pi}{12}\\
...\\
q=\frac{1}{2}\\
S=\frac{\frac{a\pi\sqrt{3}}{3}}{1-0,5}=\frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}\)

c)
\(P_1=\pi\cdot (\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=\frac{\pi a^2}{12}\\
P_2=\pi\cdot (\frac{a\sqrt{3}}{12})^2=\frac{\pi a^2}{48}\\
P_3=\pi\cdot (\frac{a\sqrt{3}}{24})^2=\frac{\pi a^2}{192}\\
...\\
q=\frac{1}{4}\\
S=\frac{\frac{\pi a^2}{12}}{1-\frac{1}{4}}\\
S=\frac{\pi a^2}{9}\)

[eresh]

2. W kwadrat o boku długości a wpisano koło, w które wpisano kwadrat, a w ten kwadrat znów koło itd. Oblicz sumę:
a) obwodów
b) pól
wszystkich kół.

\(r_1=\frac{1}{2}a\\
r_1=\frac{1}{2}a_2\sqrt{2}\\
\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}a_2\sqrt{2}\\
a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)

\(r_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a\\
\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{2}a_3\sqrt{2}\\
a_3=\frac{1}{2}a\)

\(r_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\\
r_3=\frac{1}{4}a\\
...\\
q=\frac{a}{4}\cdot\frac{4}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\)


a)
\(O_1=2\pi\cdot \frac{1}{2}a=\pi a\\
O_2=2\pi\cdot \frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{\pi a\sqrt{2}}{2}\\
O_3=2\pi\cdot \frac{a}{4}=\frac{\pi a}{2}\\
...\\
q=\frac{\pi a}{2}\cdot\frac{2}{\pi a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
S=\frac{\pi a}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\pi a}{2-\sqrt{2}}=\frac{2\pi a(2+\sqrt{2})}{4-2}=\pi a(2+\sqrt{2})\)


b)
\(P_1=\pi \cdot\frac{a^2}{4}=\frac{\pi a^2}{4}\\
P_2=\pi\cdot\frac{2a^2}{16}=\frac{a^2\pi}{8}\\
P_3=\pi \cdot\frac{a^2 }{16}=\frac{a^2\pi}{16}\\
...\\
q=\frac{1}{2}\\
S=\frac{\frac{\pi a^2}{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\pi a^2}{2}\)

[matematykajestsuper]

tutaj rozwiązanie w formie filmiku https://www.youtube.com/watch?v=b1d2si2XzXA