Granica ciągu

[mela1015]

Dla jakich wartości parametru p ciąg o wyrazie ogólnym
\(an= \sqrt{4n^2+3n+5} -(pn+1)\) :
a) ma granicę niewłaściwą \(- \infty\)
b) ma granicę właściwą (oblicz tą granicę)
c) ma granicę niewłaściwą \(+ \infty\)

[panb]

A znasz ten sposób z zastosowaniem wzoru: \(\,\,a-b= \frac{a^2-b^2}{a+b}\)?

[Galen]

\(a_n= \frac{( \sqrt{4n^2+3n+5}-(pn+1) )( \sqrt{4n^2+3n+5}+(pn+1) )}{ \sqrt{4n^2+3n+5}+(pn+1) }\)
\(a_n= \frac{4n^2+3n+5-(pn+1)^2}{ \sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1 }= \frac{4n^2+3n+5-p^2n^2-2pn-1}{n (\sqrt{4+ \frac{3}{n}+ \frac{5}{n^2}}+p+ \frac{1}{n}) } = \frac{(4-p^2)n^2+(3-2p)n+4}{bez\;zmian}\)
a)
Ciąg ma granicę \(-\infty\),gdy licznik będzie stopnia drugiego i \(4-p^2<0\)
\(4-p^2<0\\(2-p)(2+p)<0\\p\in (- \infty ;-2) \cup (2;+ \infty )\)
c)
\(\Lim_{n\to\infty }a_n=+ \infty \\4-p^2>0\\p\in (-2;2)\)
b)
Podstaw za p liczbę 2 i policz granicę.
Otrzymasz lim=-1/4.
Analogicznie zrób podstawiając za p liczbę (-2)
Otrzymasz granicę niewłaściwą \(+\infty\).

[mela1015]

A znasz ten sposób z zastosowaniem wzoru: \(\,\,a-b= \frac{a^2-b^2}{a+b}\)?

nie znam

[panb]

Idealny / niezastąpiony w tego typu granicach - warto przyswoić (to zwykły wzór skróconego mnożenia, nieco przekształcony).

[Galen]

Właśnie jest zastosowany powyżej.
Mnożysz licznik i mianownik tak,aby w liczniku otrzymać różnicę kwadratów.
\(a-b= \frac{(a-b)(a+b)}{a+b}= \frac{a^2-b^2}{a+b}\)
Tym sposobem walczysz z niewymiernością mianownika,a również z symbolem nieoznaczonym
przy liczeniu granicy.

[mela1015]

a)
\(4-p^2<0\\(2-p)(2+p)<0\\p\in (- \infty ;-2) \cup (2;+ \infty )\)

czy nie powinno być tylko \((2,+ \infty)\) ?

[mela1015]

odpowiedzi
a) \(p \in (2,+ \infty )\)
b)\(p=2 \Lim_{x\to } an=- \frac{1}{4}\)
c)\(p \in (- \infty ,2)\)

[panb]

\(a_n= \frac{( \sqrt{4n^2+3n+5}-(pn+1) )( \sqrt{4n^2+3n+5}+(pn+1) )}{ \sqrt{4n^2+3n+5}+(pn+1) }\)
\(a_n= \frac{4n^2+3n+5-(pn+1)^2}{ \sqrt{4n^2+3n+5}+pn+1 }= \frac{4n^2+3n+5-p^2n^2-2pn-1}{n \sqrt{4+ \frac{3}{n}+ \frac{5}{n^2}+p+ \frac{1}{n}) } }= \frac{(4-p^2)n^2+(3-2p)n+4}{bez\;zmian}\)
a)
Ciąg ma granicę \(-\infty\),gdy licznik będzie stopnia drugiego i \(4-p^2<0\)
\(4-p^2<0\\(2-p)(2+p)<0\\p\in (- \infty ;-2) \cup (2;+ \infty )\)
c)
\(\Lim_{n\to\infty }a_n=+ \infty \\4-p^2>0\\p\in (-2;2)\)
b)
Podstaw za p liczbę 2 i policz granicę.
Otrzymasz lim=-1/4.
Analogicznie zrób podstawiając za p liczbę (-2)
Otrzymasz granicę niewłaściwą \(+\infty\).

Niestety mianownika nie można tak całkiem olać (=zignorować). Po skróceniu n zostaje \[a_n= \frac{(4-p^2)n+3-2p+ \frac{4}{n} }{\sqrt{4+ \frac{3}{n}+ \frac{5}{n^2} }+p+ \frac{1}{n} }\] Mianownik dąży do (2+p) i trzeba go uwzględniać w badaniu znaku - stąd rozbieżność rozwiązania z odpowiedzią.

[Un serpent]

a Nie trzeba tego zadania robić z różnicy kwadratów:
a_n = \sqrt{4n^2 + 3n + 5} - (pn +1) = // Wyciągamy n^2 przed nawias w pierwiastku
= \sqrt{n^2(4 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} } - (pn + 1) = // Wyciągmy n^2 przed pierwiastek
= n \sqrt{4 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} } - (pn + 1) = // \frac{3}{n} i \frac{5}{n^2} są tak małe, że prawie 0 i otrzymujemy:
= n \sqrt{4} - (pn + 1) =
= 2n - pn - 1 = // Ponownie n przed nawias
= n(2 - p - \frac{1}{n}) = // \frac{1}{n} również uznajemy jako 0:
= n(2 - p)
a) n dąży do + \infty więc żeby otrzymać granicę - \infty musi zostać pomnożone przez liczbę mniejszą od 0 czyli:
2 - p < 0
2 < p
p \in (2 ; + \infty)

b) Jedyną granicą właściwą może być 0 czyli:
2 - p = 0
p = 2

c) Żeby otrzymać granicę + \infty to nawias musi być większy od 0:
2 - p > 0
2 > p
p \in (- \infty ; 2)

[Un serpent]

Oczywiście nie dałem znaczników:
Nie trzeba tego zadania robić z różnicy kwadratów:
\(a_n = \sqrt{4n^2 + 3n + 5} - (pn +1)\) = // Wyciągamy \(n^2\) przed nawias w pierwiastku
= \(\sqrt{n^2(4 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} } - (pn + 1)\) = // Wyciągmy \(n^2\) przed pierwiastek
= \(n \sqrt{4 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} } - (pn + 1)\) = // \(\frac{3}{n}\) i \(\frac{5}{n^2}\) są tak małe, gdy n dąży do nieskończoności,że prawie 0 i otrzymujemy:
= \(n \sqrt{4} - (pn + 1)\) =
= \(2n - pn - 1\) = // Ponownie n przed nawias
= \(n(2 - p - \frac{1}{n})\) = // \(\frac{1}{n}\) również uznajemy jako 0:
= \(n(2 - p)\)
a) n dąży do \(+ \infty\) więc żeby otrzymać granicę \(- \infty\) musi zostać pomnożone przez liczbę mniejszą od 0 czyli:
2 - p < 0
2 < p
\(p \in (2 ; + \infty)\)

b) Jedyną granicą właściwą może być 0 czyli:
2 - p = 0
p = 2

c) Żeby otrzymać granicę \(+ \infty\) to nawias musi być większy od 0:
2 - p > 0
2 > p
\(p \in (- \infty ; 2)\)

[matematykajestsuper]

tutaj rozwiązanie w formie filmiku https://www.youtube.com/watch?v=E8YBw3Slt9A&t=1s

[Młodociany całkowicz]

Oczywiście nie dałem znaczników:
Nie trzeba tego zadania robić z różnicy kwadratów:
\(a_n = \sqrt{4n^2 + 3n + 5} - (pn +1)\) = // Wyciągamy \(n^2\) przed nawias w pierwiastku
= \(\sqrt{n^2(4 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} } - (pn + 1)\) = // Wyciągmy \(n^2\) przed pierwiastek
= \(n \sqrt{4 + \frac{3}{n} + \frac{5}{n^2} } - (pn + 1)\) = // \(\frac{3}{n}\) i \(\frac{5}{n^2}\) są tak małe, gdy n dąży do nieskończoności,że prawie 0 i otrzymujemy:
= \(n \sqrt{4} - (pn + 1)\) =
= \(2n - pn - 1\) = // Ponownie n przed nawias
= \(n(2 - p - \frac{1}{n})\) = // \(\frac{1}{n}\) również uznajemy jako 0:
= \(n(2 - p)\)
a) n dąży do \(+ \infty\) więc żeby otrzymać granicę \(- \infty\) musi zostać pomnożone przez liczbę mniejszą od 0 czyli:
2 - p < 0
2 < p
\(p \in (2 ; + \infty)\)

b) Jedyną granicą właściwą może być 0 czyli:
2 - p = 0
p = 2

c) Żeby otrzymać granicę \(+ \infty\) to nawias musi być większy od 0:
2 - p > 0
2 > p
\(p \in (- \infty ; 2)\)

Przepraszam najmocniej, lecz pomimo że wynik wydaje mi się prawidłowy, takie liczenie granic na raty jest raczej wbrew matematycznemu formalizmowi i czasami się mści.